Решите неравенство:
\(\displaystyle \left|-\frac{x}{6}\right|\le 3{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Требуется решить неравенство \(\displaystyle \left|-\frac{x}{6}\right|\le 3{\small.}\)
Используем правило
Неравенства с модулем
Если \(\displaystyle a> 0\) положительное число, то неравенство
\(\displaystyle {\left|f(x)\right|\le a}\)
равносильно неравенству
\(\displaystyle -a\le f(x)\le a{\small.}\)
при \(\displaystyle a=3{\small,}\) \(\displaystyle f(x)=-\frac{x}{6}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle a=3>0{\small,}\) неравенство \(\displaystyle \left|-\frac{x}{6}\right|\le 3\) равносильно неравенству
\(\displaystyle -3\le -\frac{x}{6}\le 3{\small.}\)
Решим полученное двойное неравенство.
Умножим все части двойного неравенства на \(\displaystyle \color{red}{(-6)}\le 0{\small ,}\) изменив знаки неравенств на противоположные:
\(\displaystyle \color{purple}{-3}\le \color{blue}{ -\frac{x}{6}}\le \color{green}{ 3}{\small ;}\)
\(\displaystyle \color{purple}{-3}\cdot \color{red}{(-6)}\ge \color{blue}{ -\frac{x}{6}}\cdot \color{red}{(-6)}\ge \color{green}{ 3}\cdot \color{red}{(-6)}{\small ;}\)
\(\displaystyle 18\ge x\ge -18{\small . } \)
Перепишем неравенство в более привычном виде, расположив числа от меньшего к большему:
\(\displaystyle -18\le x\le 18{\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle -18\le x\le 18{\small ,}\) или
\(\displaystyle x\in [-18;18]{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in [-18;18]{\small .} \)