Из листа картона размером \(\displaystyle 24 \times 16\)см Иван хочет вырезать уголки так, чтобы затем, согнув картон по пунктирным линиям, получить коробку. Какой должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы площадь стенок (боковой поверхности) полученной коробки была наибольшей?
см.
Пусть \(\displaystyle x\) см – сторона вырезаемых по углам картона квадратов.
Полученная коробка имеет
- две стенки размером \(\displaystyle x\) на \(\displaystyle (16-2x)\)см общей площадью \(\displaystyle \color{#7D7DFF}{2 \cdot x \cdot (16-2x)}\)см2;
- две стенки размером \(\displaystyle x\) на \(\displaystyle (24-2x)\)см общей площадью \(\displaystyle \color{#0099CC}{2 \cdot x \cdot (24-2x)}\)см2.
Значит, общая площадь стенок полученной коробки – площадь боковой поверхности \(\displaystyle S\) – составляет
\(\displaystyle \begin{aligned}S&=\color{#7D7DFF}{2 \cdot x \cdot (16-2x)}+\color{#0099CC}{2 \cdot x \cdot (24-2x)}=\\&=32x-4x^2+48x-4x^2=-8x^2+80x {\small.}\end{aligned}\)
Требуется узнать, при каком значении \(\displaystyle x\) площадь боковой поверхности \(\displaystyle S\) будет наибольшей.
То есть требуется найти значение \(\displaystyle x{\small ,}\) при котором функция \(\displaystyle S(x)=-8x^2+80x\) примет наибольшее значение.
Заметим, что функция \(\displaystyle S(x)=-8x^2+80x\) является квадратичной со старшим коэффициентом \(\displaystyle -8 \red {<0}{\small.}\)
График данной функции – парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.
\(\displaystyle x_0=5{\small.}\)
То есть при \(\displaystyle x=5\) функция \(\displaystyle S(x)\) примет наибольшее значение.
Проверим допустимость значения \(\displaystyle x=5{\small .}\)
Таким образом, площадь стенок коробки будет наибольшей, если сторона вырезаемых квадратов равна \(\displaystyle 5\)см.
Ответ: \(\displaystyle 5\)см.