Высота \(\displaystyle h\) (м) тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью \(\displaystyle v_0\)(м/с) с высоты \(\displaystyle h_0\)(м), в зависимости от времени \(\displaystyle t\)(с) выражается формулой:
\(\displaystyle h=-\frac{gt^2}{2}+v_0t+h_0{\small ,}\)
где \(\displaystyle g\)(м/с2) – ускорение свободного падения.
Какой максимальной высоты достигнет тело, брошенное вертикально вверх с высоты \(\displaystyle 16\)м с начальной скоростью \(\displaystyle 10\)м/с?
Примите ускорение свободного падения приближённо равным \(\displaystyle 10\)м/с2.
м.
Запишем формулу для вычисления высоты в данных условиях:
\(\displaystyle h=-\frac{\color{red}{g}t^2}{2}+\color{blue}{v_0}t+\color{green}{h_0}{\small ,}\)
где
- высота, с которой производится бросок, \(\displaystyle \color{green}{h_0}=\color{green}{16} \)м;
- начальная скорость \(\displaystyle \color{blue}{v_0}=\color{blue}{10}\)м/с;
- ускорение свободного падения \(\displaystyle \color{red}{g}=\color{red}{10}\)м/с2.
При подстановке значений величин в формулу, получаем
\(\displaystyle h=-\frac{\color{red}{10}t^2}{2}+\color{blue}{10}t+\color{green}{16}{\small ,}\)
\(\displaystyle h=-5t^2+10t+16{\small .}\)
Требуется указать, какой максимальной высоты достигнет тело.
Значит, надо определить наибольшее значение функции \(\displaystyle h(t){\small .}\)
Рассмотрим график функции \(\displaystyle h(t)=-5t^2+10t+16\) при неотрицательных \(\displaystyle t\) и \(\displaystyle h{\small.}\)
Заметим, что функция \(\displaystyle h(t)=-5t^2+10t+16\) является квадратичной со старшим коэффициентом \(\displaystyle -5 \red {<0}{\small.}\)
Можно построить график схематически или по точкам.
По условию \(\displaystyle t\) – время, \(\displaystyle h\) – высота. Значит, обе величины неотрицательны. Поэтому нас интересует только часть параболы, лежащая в первой четверти.
Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.
\(\displaystyle t_0=1{\small.}\)
Для нахождения значения функции в вершине парболы подставим значение \(\displaystyle t_0=1{\small}\) в уравнение функции \(\displaystyle h(t)=-5t^2+10t+16{\small :}\)
\(\displaystyle h(1)=-5 \cdot 1^2+10 \cdot 1+16=21{\small .}\)
Значит, наибольшая высота, которую достигнет тело, равна \(\displaystyle 21\)м.
Ответ: \(\displaystyle 21\)м.