Высота \(\displaystyle h\) (м) тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью \(\displaystyle v_0\)(м/с) с высоты \(\displaystyle h_0\)(м), в зависимости от времени \(\displaystyle t\)(с) выражается формулой:
\(\displaystyle h=-\frac{gt^2}{2}+v_0t+h_0{\small ,}\)
где \(\displaystyle g\)(м/с2) – ускорение свободного падения.
Через сколько секунд тело, брошенное вертикально вверх с высоты \(\displaystyle 15\)м с начальной скоростью \(\displaystyle 10\)м/с, упадет на землю?
Примите ускорение свободного падения приближённо равным \(\displaystyle 10\)м/с2.
Через секунд(ы).
Запишем формулу для вычисления высоты в данных условиях:
\(\displaystyle h=-\frac{\color{red}{g}t^2}{2}+\color{blue}{v_0}t+\color{green}{h_0}{\small ,}\)
где
- высота, с которой производится бросок, \(\displaystyle \color{green}{h_0}=\color{green}{15} \)м;
- начальная скорость \(\displaystyle \color{blue}{v_0}=\color{blue}{10}\)м/с;
- ускорение свободного падения \(\displaystyle \color{red}{g}=\color{red}{10}\)м/с2.
При подстановке величин в формулу, получаем
\(\displaystyle h=-\frac{\color{red}{10}t^2}{2}+\color{blue}{10}t+\color{green}{15}{\small ,}\)
\(\displaystyle h=-5t^2+10t+15{\small .}\)
Рассмотрим график функции \(\displaystyle h(t)=-5t^2+10t+15\) при неотрицательных \(\displaystyle t\) и \(\displaystyle h{\small.}\)
Заметим, что функция \(\displaystyle h(t)=-5t^2+10t+15\) является квадратичной со старшим коэффициентом \(\displaystyle -5 \red {<0}{\small.}\)
Можно построить параболу схематически или по точкам.
По условию \(\displaystyle t\) – время, \(\displaystyle h\) – высота. Значит, обе величины неотрицательны. Поэтому нас интересует только часть параболы, лежащая в первой четверти.
Требуется указать, через сколько секунд тело упадет на землю, то есть достигнет высоты \(\displaystyle h=0{\small.}\)
Значит, надо найти координату точки пересечения графика с осью абсцисс, или один из нулей функции \(\displaystyle h(t){\small.}\)
Решим уравнение
\(\displaystyle h(t)=0{\small}\)
или
\(\displaystyle -5t^2+10t+15=0{\small .}\)
Так как \(\displaystyle t\) – это время в секундах, подходит только положительный корень \(\displaystyle t_1 = 3{\small .}\)
Значит, тело упадёт на землю через \(\displaystyle 3\)секунды после броска.
Ответ: \(\displaystyle 3\)секунды.