Сумма катетов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 10\)см. Найдите катеты, при которых данный треугольник имеет наибольшую площадь.
и см.
Пусть \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle z\)см – катеты треугольника. Так как площадь прямоугольного треугольника \(\displaystyle S\) равна половине произведения длин его катетов, получаем \(\displaystyle S =\frac {1}{2}xz{\small .}\) |  |
Требуется найти катеты, при которых площадь будет наибольшей.
По условию сумма катетов равна \(\displaystyle 10\)см, то есть
\(\displaystyle x+z=10{\small .}\)
Выразим один из катетов через другой
\(\displaystyle x+z=10{\small ,}\)
\(\displaystyle \color{red}{z}=\color{red}{10-x}{\small }\)
и подставим в формулу для вычисления площади:
\(\displaystyle S =\frac {1}{2}x\color{red}{z}=\frac {1}{2}x(\color{red}{10-x})=-\frac {1}{2}x^2+5x{\small .}\)
Требуется узнать, при каком значении \(\displaystyle x\) функция \(\displaystyle S(x)=-\frac {1}{2}x^2+5x\) примет наибольшее значение.
Заметим, что функция \(\displaystyle S(x)=-\frac {1}{2}x^2+5x\) является квадратичной со старшим коэффициентом \(\displaystyle -\frac {1}{2}\red {<0}{\small.}\)
График данной функции – парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.
\(\displaystyle x_0=5{\small.}\)
Значит, при \(\displaystyle x=5\) функция \(\displaystyle S(x)\) примет наибольшее значение.
Вспомним, что \(\displaystyle x\) – это один из катетов треугольника, и найдём второй:
\(\displaystyle z=10-x=10-5=5{\small .}\)
Значит, из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов \(\displaystyle 10\) наибольшую площадь будет иметь треугольник с катетами \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 5\)см, то есть равнобедренный.
Ответ: \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 5\)см.