В данный момент угол между направлениями минутной и часовой стрелок составляет \(\displaystyle 44\degree{\small .}\)
Сколько минут пройдёт, прежде чем стрелки первый раз примут положение, в котором этот угол составит \(\displaystyle 55\degree {\text ?}\)
В начале стрелки могут находиться в двух вариантах взаимного расположения:
- минутная стрелка может опережать часовую; при этом угол между их направлениями возрастает от \(\displaystyle 44\degree \) до \(\displaystyle 55\degree {\small ;}\)
- минутная стрелка может отставать от часовой; при этом угол сначала уменьшается до \(\displaystyle 0\degree{\small ,}\) а затем возрастает до \(\displaystyle 55\degree {\small .}\)
Стрелки движутся по циферблату часов равномерно. То есть за равные промежутки времени меняют своё положение на один и тот же угол.
- Часовая стрелка меняет своё положение на развёрнутый угол за \(\displaystyle 6\) часов. То есть за минуту она меняет своё положение на половину градуса. Часовое деление она проходит за час. Значит, минутное деление она преодолевает за \(\displaystyle 12\) минут.
- Минутная стрелка меняет своё положение на развёрнутый угол за половину часа. То есть за минуту она меняет своё положение на \(\displaystyle 6\degree{\small .}\) Очевидно, минутное деление она проходит за минуту, а часовое \(\displaystyle -\) за пять.
Стрелки движутся по циферблату в одну сторону (говорят: "по часовой стрелке").
Значит, угол между направлениями стрелок меняется равномерно с угловой скоростью, равной разности скоростей стрелок.
А именно, увеличивается или уменьшается на \(\displaystyle 6\degree -30'=5\degree 30'\) в минуту.
Тогда угол между направлениями стрелок должен увеличиться на
\(\displaystyle 55\degree -44\degree =11\degree {\small .}\)
Разделим эту величину на скорость изменения угла \(\displaystyle (5{,}5\degree {\footnotesize в~минуту)}\), чтобы узнать время движения:
\(\displaystyle t=\frac{11}{5{,}5}=\textcolor{green}{2} \;({\footnotesize минуты}){\small .}\)
На первом этапе угол между направлениями стрелок уменьшается от \(\displaystyle 44\degree \) до нуля. Это потребует времени:
\(\displaystyle t_1=\frac{44}{5{,}5}=8\;({\footnotesize минут}){\small .}\)
Далее минутная стрелка догонит часовую и угол будет расти от нуля до \(\displaystyle 55\degree {\small .}\) Это потребует времени:
\(\displaystyle t_2=\frac{55}{5{,}5}=10\;({\footnotesize минут}){\small .}\)
Таким образом, полное время движения составит:
\(\displaystyle t=t_1+t_2=8+10=\textcolor{green} {18}\;({\footnotesize минут}){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 2\) минуты или \(\displaystyle 18\) минут.