Skip to main content

Теория: Умножение многочлена на одночлен

Задание

Найдите произведение:
 

\(\displaystyle 5x^{\,2}y^{\,2}\cdot (6x^{\,3}y^{\,5}z+3xz^{\, 4}+xyz-11xz^{\,3})=\)
30x^5y^7z+15x^3y^2z^4+5x^3y^3z-55x^3y^2z^3


В ответе запишите многочлен в стандартном виде.

Решение

Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в скобках на \(\displaystyle 5x^{\,2}y^{\,2}{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{5x^{\,2}y^{\,2}}\cdot (6x^{\,3}y^{\,5}z+3xz^{\, 4}+xyz-11xz^{\,3})=\\ \kern{9em} =\color{blue}{5x^{\,2}y^{\,2}}\cdot 6x^{\,3}y^{\,5}z+\color{blue}{5x^{\,2}y^{\,2}}\cdot 3xz^{\, 4}+\color{blue}{5x^{\,2}y^{\,2}}\cdot xyz-\color{blue}{5x^{\,2}y^{\,2}}\cdot 11xz^{\,3} {\small .}\end{array}\)

Упростим полученное выражение, преобразовав слагаемые к одночленам в стандартном виде:

\(\displaystyle \begin{array}{l} 5x^{\,2}y^{\,2}\cdot 6x^{\,3}y^{\,5}z+5x^{\,2}y^{\,2}\cdot 3xz^{\, 4}+5x^{\,2}y^{\,2}\cdot xyz-5x^{\,2}y^{\,2}\cdot 11xz^{\,3}=\\ \kern{5em} =(5\cdot 6)\cdot (x^{\,2}\cdot x^{\,3})\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,5})\cdot z+(5\cdot 3)\cdot (x^{\,2}\cdot x\,)\cdot y^{\,2}\cdot z^{\, 4}+\\ \kern{14em} +5\cdot (x^{\,2}\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y\,)\cdot z-(5\cdot 11)\cdot (x^{\,2}\cdot x\,)\cdot y^{\,2}\cdot z^{\,3}=\\ \kern{5em} =30\cdot x^{\,2+3}\cdot y^{\,2+5}\cdot z+15\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,2}\cdot z^{\, 4}+ 5\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,2+1}\cdot z-55\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,2}\cdot z^{\,3}=\\ \kern{18em} =30x^{\,5}y^{\,7}z+15x^{\,3}y^{\,2}z^{\, 4}+5x^{\,3}y^{\,3}z-55x^{\,3}y^{\,2}z^{\,3} {\small .}\end{array}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle 5x^{\,2}y^{\,2}\cdot (6x^{\,3}y^{\,5}z+3xz^{\, 4}+xyz-11xz^{\,3})=30x^{\,5}y^{\,7}z+15x^{\,3}y^{\,2}z^{\, 4}+5x^{\,3}y^{\,3}z-55x^{\,3}y^{\,2}z^{\,3}{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 30x^{\,5}y^{\,7}z+15x^{\,3}y^{\,2}z^{\, 4}+5x^{\,3}y^{\,3}z-55x^{\,3}y^{\,2}z^{\,3}{\small .}\)