Упростите выражение:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
1. Сначала преобразуем все множители и слагаемые к одночленам в стандартном виде:
- \(\displaystyle yz^{\,2}\cdot xz^{\,3}=x\cdot y\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,3}\right)=x\cdot y\cdot z^{\,2+3}=xyz^{\,5}{\small ,}\)
- \(\displaystyle 3x^{\,2}z^{\,2}\cdot xy\cdot xz^{\,3}=3\cdot \left(x^{\,2}\cdot x\cdot x\,\right)\cdot y\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,3}\right)=3\cdot x^{\,2+1+1}\cdot y\cdot z^{\,2+3}=3x^{\,4}yz^{\,5}{\small .}\)
Тогда
2. Теперь умножим каждые скобки на их множитель.
Первые скобки умножим на \(\displaystyle xyz^{\,5}{\small ,}\) результат приведем к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{xyz^{\,5}}\cdot \left(3x^{\,3}y^{\,3}-4y^{\,2}z^{\,4}+5x^{\,2}y^{\,2}z^{\,4}\right)=\\[10px] =\color{blue}{xyz^{\,5}}\cdot 3x^{\,3}y^{\,3}-\color{blue}{xyz^{\,5}}\cdot 4y^{\,2}z^{\,4}+\color{blue}{xyz^{\,5}}\cdot 5x^{\,2}y^{\,2}z^{\,4}=\\[10px]=3\cdot \left(x\cdot x^{\,3}\right)\cdot \left(y\cdot y^{\,3}\right)\cdot z^{\,5}-4\cdot x\cdot \left(y\cdot y^{\,2}\right)\cdot \left(z^{\,5}\cdot z^{\,4}\right)+\\[5px]\kern{10em}+5\cdot \left(x\cdot x^{\,2}\right)\cdot \left(y\cdot y^{\,2}\right)\cdot \left(z^{\,5}\cdot z^{\,4}\right)=\\[10px]=3\cdot x^{\,1+3}\cdot y^{\,1+3}\cdot z^{\,5}-4\cdot x\cdot y^{\,1+2}\cdot z^{\,5+4}+5\cdot x^{\,1+2}\cdot y^{\,1+2}\cdot z^{\,5+4}=\\[10px]\kern{15em} =3x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}-4xy^{\,3}z^{\,9}+5x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}{\small .}\end{array}\)
Вторые скобки умножим на \(\displaystyle x^{\,2}z^{\,2}{\small ,}\)результат приведем к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\left(2x^{\,2}y^{\,4}z^{\,3}+3x^{\,4}yz^{\,5}-2xy^{\,3}z^{\,7}\right)\cdot \color{blue}{x^{\,2}z^{\,2}}=\\[10px]=2x^{\,2}y^{\,4}z^{\,3}\cdot \color{blue}{x^{\,2}z^{\,2}}+3x^{\,4}yz^{\,5}\cdot \color{blue}{x^{\,2}z^{\,2}}-2xy^{\,3}z^{\,7}\cdot \color{blue}{x^{\,2}z^{\,2}}=\\[10px] =2\cdot \left(x^{\,2}\cdot x^{\,2}\right)\cdot y^{\,4}\cdot \left(z^{\,3}\cdot z^{\,2}\right)+3\cdot \left(x^{\,4}\cdot x^{\,2}\right)\cdot y\cdot \left(z^{\,5}\cdot z^{\,2}\right)-\\[5px]\kern{14em}-2\cdot \left(x\cdot x^{\,2}\right)\cdot y^{\,3}\cdot \left(z^{\,7}\cdot z^{\,2}\right)=\\[10px] =2\cdot x^{\,2+2}\cdot y^{\,4}\cdot z^{\,3+2}+3\cdot x^{\,4+2}\cdot y\cdot z^{\,5+2}-2\cdot x^{\,1+2}\cdot y^{\,3}\cdot z^{\,7+2}=\\[10px]\kern{14em} =2x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}+3x^{\,6}yz^{\,7}-2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}{\small .}\end{array}\)
Поэтому
\(\displaystyle \begin{array}{l}xyz^{\,5}\left(3x^{\,3}y^{\,3}-4y^{\,2}z^{\,4}+5x^{\,2}y^{\,2}z^{\,4}\right)-\left(2x^{\,2}y^{\,4}z^{\,3}+3x^{\,4}yz^{\,5}-2xy^{\,3}z^{\,7}\right)x^{\,2}z^{\,2}=\\[10px]\kern{4em} =\left(3x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}-4xy^{\,3}z^{\,9}+5x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}\right)-\left(2x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}+3x^{\,6}yz^{\,7}-2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}\right){\small .}\end{array}\)
3. Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Так как перед вторыми скобками стоит знак минус, то все знаки внутри этих скобок изменятся на противоположные:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\left(3x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}-4xy^{\,3}z^{\,9}+5x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}\right)-\left(2x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}+3x^{\,6}yz^{\,7}-2x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}\right)=\\[10px]\kern{3em} =3\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}}-4xy^{\,3}z^{\,9}+5\color{green}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}}-2\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}}-3x^{\,6}yz^{\,7}+2\color{green}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}}=\\[10px]\kern{3em} =\left(3\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}}-2\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}}\right)-4xy^{\,3}z^{\,9}+\left(5\color{green}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}}+2\color{green}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}}\right)-3x^{\,6}yz^{\,7}=\\[10px]\kern{3em} =\left(3-2\right)\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}}-4xy^{\,3}z^{\,9}+\left(5+2\right)\color{green}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}}-3x^{\,6}yz^{\,7}=\\[10px]\kern{17em} =\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}}-4xy^{\,3}z^{\,9}+7\color{green}{x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}}-3x^{\,6}yz^{\,7}{\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \begin{array}{l}yz^{\,2}\cdot xz^{\,3}\left(3x^{\,3}y^{\,3}-4y^{\,2}z^{\,4}+5x^{\,2}y^{\,2}z^{\,4}\right)-\\[5px]\kern{10em}-\left(2x^{\,2}y^{\,4}z^{\,3}+3x^{\,2}z^{\,2}\cdot xy\cdot xz^{\,3}-2xy^{\,3}z^{\,7}\right)x^{\,2}z^{\,2}=\\[10px]\kern{15em} =x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}-4xy^{\,3}z^{\,9}+7x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}-3x^{\,6}yz^{\,7}{\small .}\end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle x^{\,4}y^{\,4}z^{\,5}-4xy^{\,3}z^{\,9}+7x^{\,3}y^{\,3}z^{\,9}-3x^{\,6}yz^{\,7}{\small .}\)