Skip to main content

Теория: Умножение многочлена на одночлен

Задание

Найдите произведение:
 

\(\displaystyle -5x^{\,2}yz^{\,2}(11xyz^{\,2}+3xy^{\,2}(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,))=\)
\(\displaystyle =\)
-55x^3y^2z^4-30x^4y^3z^4+15x^3y^4z^5-60x^4y^4z^3


В ответе запишите многочлен в стандартном виде.

Решение

1. Раскроем внутренние скобки, умножив в них каждое слагаемое на \(\displaystyle 3xy^{\,2}\) и преобразовав каждый получившийся одночлен к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{3xy^{\,2}}(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,)= \color{blue}{3xy^{\,2}}\cdot 2xz^{\,2}-\color{blue}{3xy^{\,2}}\cdot yz^{\,3}+\color{blue}{3xy^{\,2}}\cdot 4xyz=\\ \;\phantom{\color{blue}{3xy^{\,2}}(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,)} =(3\cdot 2)\cdot (x\cdot x\,)\cdot y^{\,2}z^{\,2}-3\cdot x\cdot (\,y^{\,2}\cdot y\,)\cdot z^{\,3}+\\ \kern{25em} +(3\cdot 4)\cdot (x\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y\,)\cdot z=\\ \;\phantom{\color{blue}{3xy^{\,2}}(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,)} =6\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,2}z^{\,2}-3\cdot x\cdot y^{\,2+1}\cdot z^{\,3}+12\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,2+1}\cdot z=\\ \;\phantom{\color{blue}{3xy^{\,2}}(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,)} =6x^{\,2}y^{\,2}z^{\,2}-3xy^{\,3}z^{\,3}+12x^{\,2}y^{\,3}z {\small .}\end{array}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{array}{l} -5x^{\,2}yz^{\,2}(11xyz^{\,2}+3xy^{\,2}(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,))=\\ \kern{15em} =-5x^{\,2}yz^{\,2}(11xyz^{\,2}+6x^{\,2}y^{\,2}z^{\,2}-3xy^{\,3}z^{\,3}+12x^{\,2}y^{\,3}z\,) {\small .}\end{array}\)

 

2. Еще раз раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в скобках на \(\displaystyle -5x^{\,2}yz^{\,2}{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{ -5x^{\,2}yz^{\,2}}(11xyz^{\,2}+6x^{\,2}y^{\,2}z^{\,2}-3xy^{\,3}z^{\,3}+12x^{\,2}y^{\,3}z\,)=\\ \kern{3em} =(\color{blue}{-5x^{\,2}yz^{\,2}})\cdot 11xyz^{\,2}+(\color{blue}{-5x^{\,2}yz^{\,2}})\cdot 6x^{\,2}y^{\,2}z^{\,2}-\\ \kern{18em} -(\color{blue}{-5x^{\,2}yz^{\,2}})\cdot 3xy^{\,3}z^{\,3}+(\color{blue}{-5x^{\,2}yz^{\,2}})\cdot 12x^{\,2}y^{\,3}z=\\ \kern{3em} =((-5)\cdot 11)\cdot (x^{\,2}\cdot x\,)\cdot (\,y\cdot y\,)\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,2})+((-5)\cdot 6)\cdot (x^{\,2}\cdot x^{\,2})\cdot (\,y\cdot y^{\,2})\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,2})-\\ \kern{4em} -((-5)\cdot 3)\cdot (x^{\,2}\cdot x\,)\cdot (\,y\cdot y^{\,3})\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,3})+((-5)\cdot 12)\cdot (x^{\,2}\cdot x^{\,2})\cdot (\,y\cdot y^{\,3})\cdot (z^{\,2}\cdot z\,)=\\ \kern{3em} =-55\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2+2}-30\cdot x^{\,2+2}\cdot y^{\,1+2}\cdot z^{\,2+2}+\\ \kern{15em} +15\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,1+3}\cdot z^{\,2+3}-60\cdot x^{\,2+2}\cdot y^{\,1+3}\cdot z^{\,2+1}=\\ \kern{16em} =-55x^{\,3}y^{\,2}z^{\,4}-30x^{\,4}y^{\,3}z^{\,4}+15x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}-60x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3} {\small .}\end{array}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle \begin{array}{l} -5x^{\,2}yz^{\,2}(11xyz^{\,2}+3xy^{\,2}(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,))=\\ \kern{15em} =-55x^{\,3}y^{\,2}z^{\,4}-30x^{\,4}y^{\,3}z^{\,4}+15x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}-60x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3} {\small .}\end{array}\)


Ответ: \(\displaystyle -55x^{\,3}y^{\,2}z^{\,4}-30x^{\,4}y^{\,3}z^{\,4}+15x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}-60x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}{\small .}\)