Найдите произведение:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
1. Сначала преобразуем все множители и слагаемые к одночленам в стандартном виде. Имеем:
- \(\displaystyle -y^{\,2}z\cdot 8xz\cdot 3yz^{\,3}=-\left(8\cdot 3\right)\cdot x\cdot \left(\,y^{\,2}\cdot y\,\right) \cdot \left(z\cdot z\cdot z^{\,3}\right)=\)
\(\displaystyle =-24\cdot x\cdot y^{\,2+1}\cdot z^{\,1+1+3}=-24xy^{\,3}z^{\,5}{\small ,}\)
- \(\displaystyle 3yz\cdot 2xyz^{\,2}=\left(3\cdot 2\right)\cdot x\cdot \left(\,y\cdot y\,\right)\cdot \left(z\cdot z^{\,2}\right)=6\cdot x\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,1+2}=6xy^{\,2}z^{\,3}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{array}{l}-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(-y^{\,2}z\cdot 8xz\cdot 3yz^{\,3}+5xyz^{\,3}+4yz^{\,2}\left(3yz\cdot 2xyz^{\,2}-xz+xyz\,\right)\right)=\\[10px]\kern{3em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(-24xy^{\,3}z^{\,5}+5xyz^{\,3}+4yz^{\,2}\left(6xy^{\,2}z^{\,3}-xz+xyz\,\right)\right){\small .}\end{array}\)
2. Теперь раскроем внутренние скобки, умножив в них каждое слагаемое на \(\displaystyle 4yz^{\,2}\) и преобразовав каждый получившийся одночлен к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{4yz^{\,2}}\left(6xy^{\,2}z^{\,3}-xz+xyz\,\right)=\color{blue}{4yz^{\,2}}\cdot 6xy^{\,2}z^{\,3}-\color{blue}{4yz^{\,2}}\cdot xz+\color{blue}{4yz^{\,2}}\cdot xyz=\\[10px]\phantom{\color{blue}{4yz^{\,2}}}=\left(4\cdot 6\right)\cdot x\cdot \left(\,y\cdot y^{\,2}\right)\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,3}\right)-4\cdot x\cdot y\cdot \left(z^{\,2}\cdot z\,\right)+\\[10px]\kern{19em} +4\cdot x\cdot \left(\,y\cdot y\,\right)\cdot \left(z^{\,2}\cdot z\,\right)=\\[10px]\phantom{\color{blue}{4yz^{\,2}}}=24\cdot x\cdot y^{\,1+2}\cdot z^{\,2+3}-4\cdot x\cdot y\cdot z^{\,2+1}+4\cdot x\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2+1}=\\[10px]\kern{17em}=24xy^{\,3}z^{\,5}-4xyz^{\,3}+4xy^{\,2}z^{\,3}{\small .}\end{array}\)
Поэтому
\(\displaystyle \begin{array}{l}-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(-24xy^{\,3}z^{\,5}+5xyz^{\,3}+4yz^{\,2}\left(6xy^{\,2}z^{\,3}-xz+xyz\,\right)\right)=\\[10px]\kern{5em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(-24xy^{\,3}z^{\,5}+5xyz^{\,3}+24xy^{\,3}z^{\,5}-4xyz^{\,3}+4xy^{\,2}z^{\,3}\right){\small .}\end{array}\)
3. Преобразуем многочлен в скобках к стандартному виду, приведя подобные одночлены:
\(\displaystyle \begin{array}{l}-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(-24\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}+5\color{green}{xyz^{\,3}}+24\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}-4\color{green}{xyz^{\,3}}+4xy^{\,2}z^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{5em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(\left(-24\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}+24\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}\right)+\left(5\color{green}{xyz^{\,3}}-4\color{green}{xyz^{\,3}}\right)+4xy^{\,2}z^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{5em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(\left(-24+24\right)\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}+\left(5-4\right)\color{green}{xyz^{\,3}}+4xy^{\,2}z^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{5em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(0\cdot \color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}+\color{green}{xyz^{\,3}}+4xy^{\,2}z^{\,3}\right)=-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(\color{green}{xyz^{\,3}}+4xy^{\,2}z^{\,3}\right){\small .}\end{array}\)
4. Еще раз раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в скобках на \(\displaystyle -5xy^{\,2}z^{\,3}{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{-5xy^{\,2}z^{\,3}}\cdot \left(xyz^{\,3}+4xy^{\,2}z^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{2em} =\left(\color{blue}{-5xy^{\,2}z^{\,3}}\right)\cdot xyz^{\,3}+\left(\color{blue}{-5xy^{\,2}z^{\,3}}\right)\cdot 4xy^{\,2}z^{\,3}=\\[10px]\kern{2em} =-5\cdot \left(x\cdot x\,\right)\cdot \left(\,y^{\,2}\cdot y\,\right)\cdot \left(z^{\,3}\cdot z^{\,3}\right)+\left(\left(-5\right)\cdot 4\right)\cdot \left(x\cdot x\,\right)\cdot \left(\,y^{\,2}\cdot y^{\,2}\right)\cdot \left(z^{\,3}\cdot z^{\,3}\right)=\\[10px]\kern{2em} =-5\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,2+1}\cdot z^{\,3+3}-20\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,2+2}\cdot z^{\,3+3}=\\[10px]\kern{21em} =-5x^{\,2}y^{\,3}z^{\,6}-20x^{\,2}y^{\,4}z^{\,6}{\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \begin{array}{l}-5xy^{\,2}z^{\,3}\left(-y^{\,2}z\cdot 8xz\cdot 3yz^{\,3}+5xyz^{\,3}+4yz^{\,2}\left(3yz\cdot 2xyz^{\,2}-xz+xyz\,\right)\right)=\\[10px]\kern{24em} =-5x^{\,2}y^{\,3}z^{\,6}-20x^{\,2}y^{\,4}z^{\,6}{\small .}\end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle -5x^{\,2}y^{\,3}z^{\,6}-20x^{\,2}y^{\,4}z^{\,6}{\small .}\)