Skip to main content

Теория: Умножение многочлена на одночлен

Задание

Найдите произведение:
 

\(\displaystyle -5xy^{\,2}z^{\,3}(-y^{\,2}z\cdot 8xz\cdot 3yz^{\,3}+5xyz^{\,3}+4yz^{\,2}(3yz\cdot 2xyz^{\,2}-xz+xyz\,))=\)
\(\displaystyle =\)
-5x^2y^3z^6-20x^2y^4z^6


В ответе запишите многочлен в стандартном виде.

Решение

1. Сначала преобразуем все множители и слагаемые к одночленам в стандартном виде. Имеем:

  • \(\displaystyle -y^{\,2}z\cdot 8xz\cdot 3yz^{\,3}=-(8\cdot 3)\cdot x\cdot (\,y^{\,2}\cdot y\,) \cdot (z\cdot z\cdot z^{\,3})=-24\cdot x\cdot y^{\,2+1}\cdot z^{\,1+1+3}=-24xy^{\,3}z^{\,5}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle 3yz\cdot 2xyz^{\,2}=(3\cdot 2)\cdot x\cdot (\,y\cdot y\,)\cdot (z\cdot z^{\,2})=6\cdot x\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,1+2}=6xy^{\,2}z^{\,3}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{array}{l} -5xy^{\,2}z^{\,3}(-y^{\,2}z\cdot 8xz\cdot 3yz^{\,3}+5xyz^{\,3}+4yz^{\,2}(3yz\cdot 2xyz^{\,2}-xz+xyz\,))=\\ \kern{10em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}(-24xy^{\,3}z^{\,5}+5xyz^{\,3}+4yz^{\,2}(6xy^{\,2}z^{\,3}-xz+xyz\,)) {\small .}\end{array}\)

 

2. Теперь раскроем внутренние скобки, умножив в них каждое слагаемое на \(\displaystyle 4yz^{\,2}\) и преобразовав каждый получившийся одночлен к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{4yz^{\,2}}(6xy^{\,2}z^{\,3}-xz+xyz\,)= \color{blue}{4yz^{\,2}}\cdot 6xy^{\,2}z^{\,3}-\color{blue}{4yz^{\,2}}\cdot xz+\color{blue}{4yz^{\,2}}\cdot xyz=\\ \;\phantom{\color{blue}{4yz^{\,2}}(6xy^{\,2}z^{\,3}-xz+xyz\,)} =(4\cdot 6)\cdot x\cdot (\,y\cdot y^{\,2})\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,3})-4\cdot x\cdot y\cdot (z^{\,2}\cdot z\,)+\\ \kern{23em} +4\cdot x\cdot (\,y\cdot y\,)\cdot (z^{\,2}\cdot z\,)=\\ \;\phantom{\color{blue}{4yz^{\,2}}(6xy^{\,2}z^{\,3}-xz+xyz\,)} =24\cdot x\cdot y^{\,1+2}\cdot z^{\,2+3}-4\cdot x\cdot y\cdot z^{\,2+1}+4\cdot x\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2+1}=\\ \;\phantom{\color{blue}{4yz^{\,2}}(6xy^{\,2}z^{\,3}-xz+xyz\,)} =24xy^{\,3}z^{\,5}-4xyz^{\,3}+4xy^{\,2}z^{\,3} {\small .}\end{array}\)

Поэтому

\(\displaystyle \begin{array}{l} -5xy^{\,2}z^{\,3}(-24xy^{\,3}z^{\,5}+5xyz^{\,3}+4yz^{\,2}(6xy^{\,2}z^{\,3}-xz+xyz\,))=\\ \kern{11em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}(-24xy^{\,3}z^{\,5}+5xyz^{\,3}+24xy^{\,3}z^{\,5}-4xyz^{\,3}+4xy^{\,2}z^{\,3}) {\small .}\end{array}\)

 

3. Преобразуем многочлен в скобках к стандартному виду, приведя подобные одночлены:

\(\displaystyle \begin{array}{l} -5xy^{\,2}z^{\,3}(-24\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}+5\color{green}{xyz^{\,3}}+24\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}-4\color{green}{xyz^{\,3}}+4xy^{\,2}z^{\,3})=\\ \kern{5em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}((-24\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}+24\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}})+(5\color{green}{xyz^{\,3}}-4\color{green}{xyz^{\,3}})+4xy^{\,2}z^{\,3})=\\ \kern{5em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}((-24+24)\color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}+(5-4)\color{green}{xyz^{\,3}}+4xy^{\,2}z^{\,3})=\\ \kern{5em} =-5xy^{\,2}z^{\,3}(0\cdot \color{blue}{xy^{\,3}z^{\,5}}+\color{green}{xyz^{\,3}}+4xy^{\,2}z^{\,3})= -5xy^{\,2}z^{\,3}(\color{green}{xyz^{\,3}}+4xy^{\,2}z^{\,3}) {\small .}\end{array}\)

 

4. Еще раз раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в скобках на \(\displaystyle -5xy^{\,2}z^{\,3}{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{-5xy^{\,2}z^{\,3}}\cdot (xyz^{\,3}+4xy^{\,2}z^{\,3})=\\ \kern{7em} =(\color{blue}{-5xy^{\,2}z^{\,3}})\cdot xyz^{\,3}+(\color{blue}{-5xy^{\,2}z^{\,3}})\cdot 4xy^{\,2}z^{\,3}=\\ \kern{7em} =-5\cdot (x\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y\,)\cdot (z^{\,3}\cdot z^{\,3})+((-5)\cdot 4)\cdot (x\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,2})\cdot (z^{\,3}\cdot z^{\,3})=\\ \kern{7em} =-5\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,2+1}\cdot z^{\,3+3}-20\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,2+2}\cdot z^{\,3+3}=\\ \kern{21em} =-5x^{\,2}y^{\,3}z^{\,6}-20x^{\,2}y^{\,4}z^{\,6} {\small .}\end{array}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle \begin{array}{l} -5xy^{\,2}z^{\,3}(-y^{\,2}z\cdot 8xz\cdot 3yz^{\,3}+5xyz^{\,3}+4yz^{\,2}(3yz\cdot 2xyz^{\,2}-xz+xyz\,))=\\ \kern{24em} =-5x^{\,2}y^{\,3}z^{\,6}-20x^{\,2}y^{\,4}z^{\,6} {\small .}\end{array}\)


Ответ: \(\displaystyle -5x^{\,2}y^{\,3}z^{\,6}-20x^{\,2}y^{\,4}z^{\,6}{\small .}\)