Вычислите:
Если подкоренное выражение \(\displaystyle {(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2}\)– полный квадрат, то сможем воспользоваться правилом
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
и извлечь корень.
\(\displaystyle (\sqrt{3})^2\) и \(\displaystyle (\sqrt{7})^2\)– квадраты чисел \(\displaystyle \sqrt{3}\) и \(\displaystyle \sqrt{7}{\small,}\) а \(\displaystyle 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}\)– их удвоенное произведение.
Тогда подкоренное выражение – это квадрат разности чисел \(\displaystyle \sqrt{3}\) и \(\displaystyle \sqrt{7}{\small:}\)
\(\displaystyle {(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2} = \left(\sqrt{3} - \sqrt{7}\right)^2{\small.}\)
Подставим полученный полный квадрат в исходное выражение:
\(\displaystyle \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{\left(\sqrt{3} - \sqrt{7}\right)^2}{\small.}\)
Теперь, согласно правилу:
\(\displaystyle \sqrt{\left(\sqrt{3} - \sqrt{7}\right)^2} = \left| \sqrt{3} - \sqrt{7} \right|{\small.}\)
Раскроем модуль.
Для этого определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{7}{\small . } \)
Так как \(\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{7}<0{\small,}\) то модуль раскрывается со знаком минус:
\(\displaystyle \left| \sqrt{3} - \sqrt{7} \right| = -\left(\sqrt{3} - \sqrt{7}\right) = \sqrt{7} - \sqrt{3}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{Blue}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{3}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{7} - \sqrt{3}{\small.}\)