Теория: Преобразование двойных радикалов (короткая версия)

Если \(\displaystyle 9 - \sqrt{72}\) можно представить в виде квадрата разности, то 

\(\displaystyle 9 - \sqrt{72} = (a-b)^2{\small , }\) где \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) нужно найти.

Раскроем скобки в правой части:

\(\displaystyle 9 - \sqrt{72}=a^2 - 2ab + b^2{\small . }\)

Естественно предположить, что сумма квадратов не содержит знак радикала. Тогда

\(\displaystyle \color{blue}{a^2+ b^2} = \color{blue}{9}{\small , }\,\,\,\, \color{green}{2ab} = \color{green}{\sqrt{72}}{\small . }\)

Представим \(\displaystyle \sqrt{72}\) как произведение \(\displaystyle 2\) и корня из некоторого числа:

\(\displaystyle \color{green}{\sqrt{72}} = \sqrt{4 \cdot 18} = \color{green}{2 \cdot \sqrt{18}}\)

Тогда

\(\displaystyle \color{blue}{a^2+ b^2} = \color{blue}{9}{\small , }\,\,\,\, \color{green}{ab} = \color{green}{\sqrt{18}}{\small . }\)

Попробуем подобрать значения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small, }\) удовлетворяющие этим условиям.

Значения \(\displaystyle a\) можем искать среди корней из положительных делителей \(\displaystyle {18}{\small ,}\) значения \(\displaystyle b\) находить как \(\displaystyle \frac{\sqrt{18}}{a}{\small.}\)

• \(\displaystyle a = 1{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{18}{\small ; }\)
• \(\displaystyle a = \sqrt{2}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{9}{\small ; }\)
• \(\displaystyle a = \sqrt{3}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{6}{\small ; }\)
• \(\displaystyle a = \sqrt{6}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{3}{\small ; }\)
• \(\displaystyle a = \sqrt{9}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{2}{\small ; }\)
• \(\displaystyle a = \sqrt{18}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = 1{\small . }\)

Проверим, есть ли среди выписанных пар \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) такая, что \(\displaystyle a^2 +b^2 = 9{\small . }\)

• Если \(\displaystyle a = 1\) и \(\displaystyle b = \sqrt{18}{\small , }\) то  

\(\displaystyle a^2 + b^2 = 1^2 + (\sqrt{18})^2 = 1 + 18 \,\,\cancel {=} \,\,9{\small . }\)

• Если \(\displaystyle a = \sqrt{2}\) и \(\displaystyle b = \sqrt{9}{\small , }\) то  

\(\displaystyle a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{9})^2 = 2 + 9 \,\,\cancel {=} \,\,9{\small . }\)

• Если \(\displaystyle a = \sqrt{3}\) и \(\displaystyle b = \sqrt{6}{\small , }\) то  

\(\displaystyle a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 = 3 + 6 = 9{\small . }\)

Оставшиеся значения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) симметричны проверенным. Они будут давать те же значения суммы квадратов.

Таким образом, \(\displaystyle a = \sqrt{3}{\small , }\) \(\displaystyle b = \sqrt{6}{\small }\) и

\(\displaystyle 9 - \sqrt{72} = 9 - 2\sqrt{18} = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = \left( {\sqrt{3}} - {\sqrt{6}}\right)^2{\small.}\)

Сравним \(\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{6}\) с нулем:

\(\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{6} \color{green}{ \vee} 0 {\small , } \)

где \(\displaystyle \color{green}{ \vee} \) обозначает некоторый знак неравенства (который надо найти).

Перенесем \(\displaystyle \sqrt{6}\) вправо:

\(\displaystyle \sqrt{3}\color{green}{ \vee} \sqrt{6} {\small . } \)

Избавимся от корней, возведя обе части неравенства в квадрат. Это возможно, так как \(\displaystyle \sqrt{3}\ge 0 \) и \(\displaystyle \sqrt{6}\ge 0{\small . } \) Получаем:

\(\displaystyle (\sqrt{3})^2 \color{green} { \vee} (\sqrt{6})^2{\small ; }\)

\(\displaystyle 3 \color{green}{ \vee} 6{\small . } \)

Так как \(\displaystyle 3<6{\small , } \) то знак \(\displaystyle \color{green}{ \vee} \) обозначает знак \(\displaystyle \color{green}{<}{\small . } \)

Значит, \(\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{6} < 0 {\small . } \)