Вычислите:
Если подкоренное выражение \(\displaystyle 10 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}\)– полный квадрат, то сможем воспользоваться правилом
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
и извлечь корень.
Попробуем представить сумму \(\displaystyle 10 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}\) в виде
Видим, что \(\displaystyle 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}\)– это удвоенное произведение \(\displaystyle \color{Blue} {\sqrt{7}}\) и \(\displaystyle \color{Green} {\sqrt{3}}{\small.}\)
\(\displaystyle 10\) есть сумма квадратов этих чисел:
| \(\displaystyle 10 =\) | \(\displaystyle (\color{Blue} {\sqrt{7}})^2\) | \(\displaystyle +\) | \(\displaystyle (\color{Green} {\sqrt{3}})^2{\small.}\) |
| \(\displaystyle {\small 7}\) | \(\displaystyle {\small 3}\) |
Получаем:
\(\displaystyle 10 + 2 \cdot \color{Blue} {\sqrt{7}} \cdot \color{Green} {\sqrt{3}} = (\color{Blue} {\sqrt{7}})^2 + 2 \cdot \color{Blue} {\sqrt{7}} \cdot \sqrt{3} + (\color{Green} {\sqrt{3}})^2 = \left(\color{Blue} {\sqrt{7}} + \color{Green} {\sqrt{3}}\right)^2{\small.}\)
Подставим полученный полный квадрат в исходное выражение:
\(\displaystyle \sqrt{10+2\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{7} + \sqrt{3}\right)^2}{\small.}\)
Согласно правилу:
\(\displaystyle \sqrt{\left(\sqrt{7} + \sqrt{3}\right)^2} = \left| \sqrt{7} + \sqrt{3} \right|{\small.}\)
Раскроем модуль.
Так как \(\displaystyle \sqrt{7} + \sqrt{3}>0{\small,}\) то можем убрать знак модуля:
\(\displaystyle \left| \sqrt{7} + \sqrt{3} \right| = \sqrt{7} + \sqrt{3}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{Purple}{\sqrt{10 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} } = \sqrt{7} + \sqrt{3}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{7} + \sqrt{3}{\small.}\)