Вычислите:
Попробуем представить \(\displaystyle 11 + \sqrt{120}\) в виде квадрата суммы.
\(\displaystyle 11 + \sqrt{120} = \left( {\sqrt{5}} + {\sqrt{6}}\right)^2{\small.}\)
Если \(\displaystyle 11 + \sqrt{120}\) можно представить в виде квадрата суммы, то
\(\displaystyle 11 + \sqrt{120} = (a+b)^2{\small , }\) где \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) нужно найти.
Раскроем скобки в правой части:
\(\displaystyle 11 + \sqrt{120}=a^2 + 2ab + b^2{\small . }\)
Естественно предположить, что сумма квадратов не содержит радикала. Тогда
\(\displaystyle \color{blue}{a^2+ b^2} = \color{blue}{11}{\small , }\,\,\,\, \color{green}{2ab} = \color{green}{\sqrt{120}}{\small . }\)
Представим \(\displaystyle \sqrt{120}\) как произведение \(\displaystyle 2\) и корня из некоторого числа:
\(\displaystyle \color{green}{\sqrt{120}} = \sqrt{4 \cdot 30} = \color{green}{2 \cdot \sqrt{30}}\)
Тогда
\(\displaystyle \color{blue}{a^2+ b^2} = \color{blue}{11}{\small , }\,\,\,\, \color{green}{ab} = \color{green}{\sqrt{30}}{\small . }\)
Попробуем подобрать значения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small, }\) удовлетворяющие этим условиям.
Значения \(\displaystyle a\) можем искать среди корней из положительных делителей \(\displaystyle {30}{\small ,}\) значения \(\displaystyle b\) находить как \(\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{a}{\small.}\)
- \(\displaystyle a = 1{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{30}{\small ; }\)
- \(\displaystyle a = \sqrt{2}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{15}{\small ; }\)
- \(\displaystyle a = \sqrt{3}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{10}{\small ; }\)
- \(\displaystyle a = \sqrt{5}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{6}{\small ; }\)
- \(\displaystyle a = \sqrt{6}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{5}{\small ; }\)
- \(\displaystyle a = \sqrt{10}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{3}{\small ; }\)
- \(\displaystyle a = \sqrt{15}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{2}{\small ; }\)
- \(\displaystyle a = \sqrt{30}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = 1{\small . }\)
Проверим, есть ли среди выписанных пар \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) такая, что \(\displaystyle a^2 +b^2 = 11{\small . }\)
- Если \(\displaystyle a = 1\) и \(\displaystyle b = \sqrt{30}{\small , }\) то
\(\displaystyle a^2 + b^2 = 1^2 + (\sqrt{30})^2 = 1 + 30 \,\,\cancel {=} \,\,11{\small . }\)
- Если \(\displaystyle a = \sqrt{2}\) и \(\displaystyle b = \sqrt{15}{\small , }\) то
\(\displaystyle a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{15})^2 = 2 + 15 \,\,\cancel {=} \,\,11{\small . }\)
- Если \(\displaystyle a = \sqrt{3}\) и \(\displaystyle b = \sqrt{10}{\small , }\) то
\(\displaystyle a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{10})^2 = 3 + 10 \,\,\cancel {=} \,\,11{\small . }\)
- Если \(\displaystyle a = \sqrt{5}\) и \(\displaystyle b = \sqrt{6}{\small , }\) то
\(\displaystyle a^2 + b^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{6})^2 = 5 + 6 = 11{\small . }\)
Оставшиеся значения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) симметричны проверенным. Они будут давать те же значения суммы квадратов.
Таким образом, \(\displaystyle a = \sqrt{5}{\small , }\) \(\displaystyle b = \sqrt{6}{\small }\) и
\(\displaystyle 11 + \sqrt{120} = 11 + 2\sqrt{30} = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = \left( {\sqrt{5}} + {\sqrt{6}}\right)^2{\small.}\)
Подставим полученный полный квадрат в исходное выражение:
\(\displaystyle \sqrt{11 + \sqrt{120}} = \sqrt{\left(\sqrt{5} + \sqrt{6}\right)^2}{\small.}\)
\(\displaystyle \sqrt{\left(\sqrt{5} + \sqrt{6}\right)^2} = \left| \sqrt{5} + \sqrt{6} \right|{\small.}\)
Раскроем модуль.
Так как \(\displaystyle \sqrt{5} + \sqrt{6} >0 {\small,}\) то знак модуля убираем:
\(\displaystyle \left| \sqrt{5} + \sqrt{6} \right| = \sqrt{5} + \sqrt{6} {\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{Purple}{\sqrt{11 + \sqrt{120} } = \sqrt{5} + \sqrt{6}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{5} + \sqrt{6}{\small.}\)