Skip to main content

Теория: Преобразование двойных радикалов (короткая версия)

Задание

Вычислите:

\(\displaystyle \sqrt{10-2\sqrt{21}}=\)
\sqrt{7}-\sqrt{3}
Решение

Если подкоренное выражение \(\displaystyle 10 - 2\sqrt{21}\)– полный квадрат, то сможем воспользоваться правилом

Правило

Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется

\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)

и извлечь корень.

Попробуем представить \(\displaystyle 10 - 2\sqrt{21}\) в виде квадрата разности. 

\(\displaystyle 10 - 2\sqrt{21} = \left( {\sqrt{3}} - {\sqrt{7}}\right)^2{\small.}\)

Если \(\displaystyle 10 - 2\sqrt{21}\) можно представить в виде квадрата разности, то 

\(\displaystyle 10 - 2\sqrt{21} = (a-b)^2{\small , }\) где \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) нужно найти.

Раскроем скобки в правой части:

\(\displaystyle 10 - 2\sqrt{21}=a^2 - 2ab + b^2{\small . }\)

Естественно предположить, что сумма квадратов не содержит знак радикала. Тогда

\(\displaystyle \color{blue}{a^2+ b^2} = \color{blue}{10}{\small , }\,\,\,\, \color{green}{2ab} = \color{green}{2\sqrt{21}}{\small . }\)

Сократим обе части второго равенства на \(\displaystyle 2{ \small :}\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^2+ b^2} = \color{blue}{10}{\small , }\,\,\,\, \color{green}{ab} = \color{green}{\sqrt{21}}{\small . }\)


Попробуем подобрать значения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small, }\) удовлетворяющие этим условиям.

Значения \(\displaystyle a\) можем искать среди корней из положительных делителей числа \(\displaystyle {21}{\small .}\) Значения \(\displaystyle b\) находить как \(\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{a}{\small.}\)

  • \(\displaystyle a = \sqrt{1} = 1{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{21}{\small ; }\)
  • \(\displaystyle a = \sqrt{3}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{7}{\small ; }\)
  • \(\displaystyle a = \sqrt{7}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = \sqrt{3}{\small ; }\)
  • \(\displaystyle a = \sqrt{21}{\small , }\) тогда \(\displaystyle b = 1{\small . }\)

Проверим, есть ли среди выписанных пар \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) такая, что \(\displaystyle a^2 +b^2 = 10{\small . }\)

  • Если \(\displaystyle a = 1\) и \(\displaystyle b = \sqrt{21}{\small , }\) то  

\(\displaystyle a^2 + b^2 = 1^2 + (\sqrt{21})^2 = 1 + 21 = 22\,\,\cancel {=} \,\,10{\small . }\)

  • Если \(\displaystyle a = \sqrt{3}\) и \(\displaystyle b = \sqrt{7}{\small , }\) то  

\(\displaystyle a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{7})^2 = 3 + 7 = 10{\small . }\)

Оставшиеся значения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) симметричны проверенным. Они будут давать те же значения суммы квадратов.

Таким образом, \(\displaystyle a = \sqrt{3}{\small , }\) \(\displaystyle b = \sqrt{7}{\small }\) и

\(\displaystyle 10 - 2\sqrt{21} = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = \left( {\sqrt{3}} - {\sqrt{7}}\right)^2{\small.}\)

Подставим полученный полный квадрат в исходное выражение:

\(\displaystyle \sqrt{10 - 2\sqrt{21}}=\sqrt{\left(\sqrt{3} - \sqrt{7}\right)^2}{\small.}\)


Согласно правилу:

\(\displaystyle \sqrt{\left(\sqrt{3} - \sqrt{7}\right)^2} = \left| \sqrt{3} - \sqrt{7} \right|{\small.}\)

Раскроем модуль.

Для этого определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{7}{\small . } \)

\(\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{7} < 0\)

Так как \(\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{7}<0{\small,}\) то модуль раскрывается со знаком минус:

\(\displaystyle \left| \sqrt{3} - \sqrt{7} \right| = -\left(\sqrt{3} - \sqrt{7}\right) = \sqrt{7} - \sqrt{3}{\small.}\)

Таким образом, 

\(\displaystyle \color{Purple}{\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{7} - \sqrt{3}}{\small.}\)


Ответ:  \(\displaystyle \sqrt{7} - \sqrt{3}{\small.}\)