Skip to main content

Теория: 05 Первый признак подобия треугольников (по двум углам) (на готовых чертежах)(короткая версия)

Задание

Решите задачу на готовом чертеже:

По данному рисунку найдите значение \(\displaystyle \color{red}{x}{\small,}\) если известно, что \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник.

\(\displaystyle \color{red}{x}=\)\(\displaystyle {\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник:

  • \(\displaystyle AB=5{\small,}\) \(\displaystyle AD=8{\small;}\)
  • \(\displaystyle E \in CD{\small;}\)
  • прямая \(\displaystyle BE\) пересекает прямую \(\displaystyle AD\) в точке \(\displaystyle F{\small;}\)
  • \(\displaystyle DF=2{\small;}\)
  • \(\displaystyle CE=\color{red}{x}{\small.}\)

Требуется найти значение \(\displaystyle \color{red}{x}{\small.}\)

\(\displaystyle AF=10{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle BCE\) и \(\displaystyle BAF{\small:}\)

  • \(\displaystyle BC=AD=8\) – противоположные стороны прямоугольника \(\displaystyle ABCD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \color{darkviolet}{\angle BCE}= \color{darkviolet}{\angle BAF}=90^{\circ}\) – по условию;
  • \(\displaystyle BC \parallel AD\)(противоположные стороны прямоугольника) и \(\displaystyle BF\) – секущая, следовательно,

\(\displaystyle \color{green}{\angle CBE}=\color{green}{\angle AFB}\) – накрест лежащие углы.

Значит,

\(\displaystyle \triangle BCE \sim \triangle BAF\) по двум углам (по первому признаку подобия)

В подобных треугольниках напротив соответственно равных углов лежат сходственные стороны.

Следовательно,

\(\displaystyle \frac{CE}{AB}=\frac{BC}{AF}{\small.}\)

 

Подставим \(\displaystyle CE=\color{red}{x}{\small,}\) \(\displaystyle AB=5{\small,}\) \(\displaystyle BC=8{\small,}\) \(\displaystyle AF=10{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{\color{red}{x}}{5}=\frac{8}{10}{\small.}\)

По свойству пропорции получаем:

\(\displaystyle \color{red}{x}=\frac{8 \cdot \cancel{5}}{\overset{\color{blue}{2}}{\cancel{10}}}=\frac{8}{2}=4{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \color{red}{x}=4{\small.}\)