Решите уравнение:
\(\displaystyle x^2+5|x|=0{\small.}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если это потребуется.
\(\displaystyle x_2=\)
\(\displaystyle x_3=\)
Заметим, что
\(\displaystyle x^2 = |x|^2 {\small,}\)
и перепишем исходное уравнение
\(\displaystyle x^2 + 5|x| = 0\)
в виде:
\(\displaystyle \color{blue}{|x|}^2 + 5\color{blue}{|x|} = 0{\small.}\)
Видим, что переменная \(\displaystyle x\) теперь встречается в уравнении только в выражении \(\displaystyle \color{blue}{|x|}{\small.}\)
Сделаем замену \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{|x|}\) и получим квадратное уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{t}^2 + 5\color{blue}{t} = 0{\small.}\)
Решим его.
\(\displaystyle t_1 = 0{\small ,} \, t_2 = -5{\small .}\)
Теперь, так как \(\displaystyle {t}=|x|{\small,}\) можно найти \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle |x| = 0\) или \(\displaystyle |x| = -5{\small.}\)
Решим каждое из полученных уравнений с модулем.
- Уравнение \(\displaystyle |x|=0\) имеет единственный корень \(\displaystyle x=0{\small.}\)
- Уравнение \(\displaystyle |x|=-5\) корней не имеет, так как модуль не может принимать отрицательные значения.
Значит, уравнение \(\displaystyle x^2 + 5|x| = 0\) имеет единственный корень:
\(\displaystyle x_1 = 0{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1 = 0{\small .}\)