Решите уравнение:
\(\displaystyle x^2+5|x|+4=0{\small.}\)
В ответе укажите количество различных корней и через запятую без пробелов сами корни в порядке возрастания.
Например:
- если уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня \(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=5{\small ,}\) то в ответе указываем \(\displaystyle 2{\small ,}3{\small ,}5\)
- если уравнение корней не имеет, то в ответе указываем \(\displaystyle 0\)
Заметим, что
\(\displaystyle x^2=|x|^2{\small,}\)
и перепишем исходное уравнение в виде:
\(\displaystyle \color{blue}{|x|}^2+5\color{blue}{|x|}+4=0{\small.}\)
Видим, что переменная \(\displaystyle x\) теперь встречается в уравнении только в выражении \(\displaystyle \color{blue}{|x|}{\small.}\)
Сделаем замену \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{|x|}\) и получим квадратное уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{t}^2+5\color{blue}{t}+4=0{\small.}\)
Решим полученное уравнение.
\(\displaystyle t_1=-1{\small ,} \, t_2=-4{\small .} \)
Теперь, так как \(\displaystyle {t}=|x|{\small,}\) можно найти \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle |x|=-1\) или \(\displaystyle |x|=-4{\small.}\)
Оба полученных уравнения корней не имеют, так как модуль не может принимать отрицательные значения.
Значит, и исходное уравнение корней не имеет, поэтому в ответе указываем \(\displaystyle 0{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{\small .} \)