Решите уравнение
\(\displaystyle x^{\,3}-7x^{\,2}+19x-28=0{\small .}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.
\(\displaystyle x_1=\)
\(\displaystyle x_2=\)
\(\displaystyle x_3=\)
Решим уравнение
\(\displaystyle x^{\,3}-7x^{\,2}+19x-28=0{\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами
\(\displaystyle x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+\color{blue}{a_n}=0\)
имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена \(\displaystyle \color{blue}{a_n}{\small .}\)
Будем искать корни уравнения
\(\displaystyle x^{\,3}-7x^{\,2}+19x \color{blue}{-28}=0{\small }\)
среди делителей числа \(\displaystyle \color{blue}{-28}{\small .}\)
Делителями числа \(\displaystyle -28\) являются числа:
\(\displaystyle \pm1;\,\,\pm2;\,\,\pm4;\,\,\pm7;\,\,\pm14;\,\,\pm28{\small .}\)
Будем подставлять найденные делители в уравнение
\(\displaystyle x^{\,3}-7x^{\,2}+19x -28=0{\small ,}\)
пока не найдём корень.
Для нахождения других корней данного уравнения воспользуемся теоремой
Если число \(\displaystyle \color{green}{x_0}\) является корнем многочлена степени \(\displaystyle n\)
\(\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n{\small ,} \) где \(\displaystyle a_{0}\, =\not\,0{\small ,}\)
то этот многочлен можно представить в виде произведения
\(\displaystyle P(x)=(x-\color{green}{x_{0}})P_{1} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{1} (x)\) – многочлен степени\(\displaystyle (n-1){\small .}\)
\(\displaystyle \color{green}{x_0}=\color{green}{ 4}\) является корнем многочлена \(\displaystyle P(x)=x^{\,3}-7x^{\,2}+19x-28{\small .}\)
Значит, многочлен третьей степени \(\displaystyle P(x)\) можно представить в виде произведения
\(\displaystyle x^{\,3}-7x^{\,2}+19x-28=(x-\color{green}{ 4})P_{1} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{1} (x)\) – многочлен второй степени.
Чтобы найти \(\displaystyle P_{1} (x){\small ,}\) разделим многочлен \(\displaystyle x^{\,3}-7x^{\,2}+19x-28\) на двучлен \(\displaystyle x-4\) в столбик:
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{blue}{ x^{\,3}-7x^{\,2}+19x-28}\) | \(\displaystyle x-4\) | ||||||||||
| \(\displaystyle x^{\,3}-4x^{\,2}\) | \(\displaystyle x^{\,2}-3x+7\) | |||||||||||
| \(\displaystyle \phantom{\,\,}-\) | \(\displaystyle \color{green}{ -3x^{\,2}+19x-28}\) | |||||||||||
| \(\displaystyle -3x^{\,2}+12x\) | ||||||||||||
| \(\displaystyle \phantom{\small 25x^{\,2}+} -\) | \(\displaystyle \color{orange}{7x-28}\) | |||||||||||
| \(\displaystyle 7x-28\) | ||||||||||||
| \(\displaystyle 0\,\) | ||||||||||||
Значит,
Исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle (x-4)(x^{\,2}-3x+7)=0{\small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x-4=0\) или \(\displaystyle x^{\,2}-3x+7=0{\small .}\)
Первый корень \(\displaystyle x_{1}=4\) уже найден, и нам остаётся решить квадратное уравение
\(\displaystyle x^{\,2}-3x+7=0{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle x^{\,2}-3x+7=0\) действительных корней не имеет.
Значит, исходное уравнение имеет только один корень:
\(\displaystyle x_1=4{\small.}\)
Последние две ячейки следует оставить пустыми.
Ответ: \(\displaystyle x_1=4{\small.}\)