Решите уравнение
\(\displaystyle x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x+3=0{\small .}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.
Решим уравнение
\(\displaystyle x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x+3=0{\small .}\)
Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами
\(\displaystyle x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+\color{blue}{a_n}=0\)
имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена \(\displaystyle \color{blue}{a_n}{\small .}\)
Будем искать корни уравнения
\(\displaystyle x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x +\color{blue}{3}=0{\small }\)
среди делителей числа \(\displaystyle \color{blue}{3}{\small .}\)
Делителями числа \(\displaystyle 3\) являются числа:
\(\displaystyle \pm1;\,\,\pm3{\small .}\)
Будем подставлять найденные делители в уравнение
\(\displaystyle x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x+3=0{\small ,}\)
пока не найдём корень.
Для нахождения других корней данного уравнения воспользуемся теоремой
Если число \(\displaystyle \color{green}{x_0}\) является корнем многочлена степени \(\displaystyle n\)
\(\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n{\small ,} \) где \(\displaystyle a_{0}\, \cancel{=}\,0{\small ,}\)
то этот многочлен можно представить в виде произведения
\(\displaystyle P(x)=(x-\color{green}{x_{0}})P_{1} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{1} (x)\) – многочлен степени\(\displaystyle (n-1){\small .}\)
\(\displaystyle x=\color{green}{ -1}\) является корнем многочлена \(\displaystyle P(x)=x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x+3{\small .}\)
Значит, многочлен четвёртой степени \(\displaystyle P(x)\) можно представить в виде произведения
\(\displaystyle x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x+3=(x-(\color{green}{-1}))P_{1} (x){\small }\)
или
\(\displaystyle x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x+3=(x+1)P_{1} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{1} (x)\) – многочлен третьей степени.
Получаем
\(\displaystyle P_{1} (x)=x^{\,3}-6x^{\,2}+8x+3\)
и
\(\displaystyle x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x+3=(x+1)\cdot (x^{\,3}-6x^{\,2}+8x+3){\small .}\)
Исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle (x+1)\cdot (x^{\,3}-6x^{\,2}+8x+3)=0{\small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x+1=0\) или \(\displaystyle x^{\,3}-6x^{\,2}+8x+3=0{\small .}\)
Первый корень \(\displaystyle x_{1}=-1\) уже найден и нам остаётся решить уравнение третьей степени
\(\displaystyle x^{\,3}-6x^{\,2}+8x+\color{blue}{3}=0{\small .}\)
Будем решать его тем же способом, что и исходное уравнение – искать возможные корни среди делителей числа \(\displaystyle \color{blue}{3}{\small .}\)
Делителями числа \(\displaystyle 3\) являются числа:
\(\displaystyle \pm1;\,\,\pm3{\small .}\)
Значит, многочлен третьей степени \(\displaystyle P_1(x)\) можно представить в виде произведения
\(\displaystyle x^{\,3}-6x^{\,2}+8x+3=(x-3)P_{2} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{2} (x)\) – многочлен второй степени.
\(\displaystyle P_{2} (x)=x^{\,2}-3x-1{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle x^{\,3}-6x^{\,2}+8x+3=(x-3)(x^{\,2}-3x-1){\small .}\)
Так как
\(\displaystyle x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x+3=(x+1)(x^{\,3}-6x^{\,2}+8x+3){\small ,}\)
получаем
\(\displaystyle x^{\,4}-5x^{\,3}+2x^{\,2}+11x+3=(x+1)(x-3)(x^{\,2}-3x-1){\small .}\)
Значит, исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle (x+1)(x-3)(x^{\,2}-3x-1)=0{\small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x+1=0\) или \(\displaystyle x-3=0{\small ,}\) или \(\displaystyle x^{\,2}-3x-1=0{\small .}\)
Корни \(\displaystyle x_{1}=-1\) и \(\displaystyle x_{2}=3\) уже найдены, и нам остаётся решить квадратное уравнение
\(\displaystyle x^{\,2}-3x-1=0{\small .}\)
Таким образом, исходное уравнение имеет четыре различных корня:
\(\displaystyle x_1=-1{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=3{\small,}\)
\(\displaystyle x_3=\frac{3+\sqrt{13}}{2 }{\small,}\)
\(\displaystyle x_4=\frac{3-\sqrt{13}}{2 }{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=-1{\small,}\, x_2=3{\small,}\, x_3=\frac{3+\sqrt{13}}{2 }\, x_4=\frac{3-\sqrt{13}}{2 }{\small.}\)