Решим уравнение
\(\displaystyle x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1=0{\small .}\)
Воспользуемся правилом:
ПравилоЕсли приведенное уравнение с целыми коэффициентами
\(\displaystyle x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+\color{blue}{a_n}=0\)
имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена \(\displaystyle \color{blue}{a_n}{\small .}\)
Свободный член уравнения
\(\displaystyle x^{\,3}-2x^{\,2}-4x \color{blue}{-1}=0{\small }\)
равен \(\displaystyle \color{blue}{-1}{\small }\) и делится только на
\(\displaystyle \pm1{\small .}\)
Подставим найденные делители в уравнение
\(\displaystyle x^{\,3}-2x^{\,2}-4x -1=0{\small .}\)
\(\displaystyle x=1\) не является корнем данного уравнения.
Подставим \(\displaystyle x=1\) в уравнение \(\displaystyle x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1=0{\small :}\)
\(\displaystyle 1^{3}-2\cdot 1^{2}-4\cdot 1-1\stackrel{?}{=}0{\small ,}\)
\(\displaystyle -6\, \color{red}{\cancel{=}} \,0{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle x=1\) не является корнем данного уравнения.
\(\displaystyle x=-1\) является корнем данного уравнения.
Подставим \(\displaystyle x=-1\) в уравнение \(\displaystyle x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1=0{\small :}\)
\(\displaystyle (-1)^{3}-2\cdot (-1)^{2}-4\cdot (-1)-1 \stackrel{?}{=}0{\small ,}\)
\(\displaystyle 0\, \color{blue}{=} \,0{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle x=-1\) является корнем данного уравнения.
Для нахождения других корней данного уравнения воспользуемся теоремой
ТеоремаЕсли число \(\displaystyle \color{green}{x_0}\) является корнем многочлена степени \(\displaystyle n\)
\(\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n{\small ,} \) где \(\displaystyle a_{0}\, \cancel{=}\,0{\small ,}\)
то этот многочлен можно представить в виде произведения
\(\displaystyle P(x)=(x-\color{green}{x_{0}})P_{1} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{1} (x)\) – многочлен степени\(\displaystyle (n-1){\small .}\)
\(\displaystyle \color{green}{x_0}=\color{green}{ -1}\) является корнем многочлена \(\displaystyle P(x)=x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1{\small .}\)
Значит, многочлен третьей степени \(\displaystyle P(x)\) можно представить в виде произведения
\(\displaystyle x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1=(x-(\color{green}{-1}))P_{1} (x){\small }\)
или
\(\displaystyle x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1=(x+1)P_{1} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{1} (x)\) – многочлен второй степени.
Чтобы найти \(\displaystyle P_{1} (x){\small ,}\) разделим многочлен \(\displaystyle x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1\) на двучлен \(\displaystyle x+1\) в столбик:
Одночлен старшей степени у делителя \(\displaystyle x+1\)– это одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}{\small .}\)
Шаг 1. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{blue}{ x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1}}\)
1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,3}}-2x^{\,2}-4x-1{\small ,}\) это одночлен \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,3}}{\small .}\)
2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,3}}\) на одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}\,{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{ \color{blue}{x^{\,3}} }{\color{red}{x}}=\color{blue}{x^{\,2}}{\small .}\)
Записываем результат деления как первое слагаемое частного:
| \(\displaystyle \small \color{blue}{x^{\,3}}-2x^{\,2}-4x-1\) | \(\displaystyle \small x+1\) |
| \(\displaystyle \small \color{blue}{x^{\,2}}\,?\) |
3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,3}}-2x^{\,2}-4x-1\) многочлен \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,2}}\cdot (x+1)=x^{\,3}+x^{\,2} {\small :}\)
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \small \color{blue}{x^{\,3}}-2x^{\,2}-4x-1\) | \(\displaystyle \small x+1\) |
\(\displaystyle \small x^{\,3}+\,\,x^{\,2}\) | \(\displaystyle \small \color{blue}{x^{\,2}}\,?\) |
| | \(\displaystyle \small -3x^{\,2}-4x-1\) |
Получаем многочлен \(\displaystyle -3x^{\,2}-4x-1{\small . }\)
Шаг 2. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{green}{ -3x^{\,2}-4x-1}}\)
1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{green}{-3x^{\,2}}-4x-1{\small ,}\) это \(\displaystyle \color{green}{-3x^{\,2}}{\small .}\)
2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{green}{-3x^{\,2}}\) на одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}\,{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{\color{green}{-3x^{\,2}}}{\color{red}{x}}=\color{green}{-3x}{\small .}\)
Записываем результат как второе слагаемое частного со знаком \(\displaystyle "-"\):
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \small x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1\) | \(\displaystyle \small x+1\) |
\(\displaystyle \small x^{\,3}+\,\,x^{\,2}\) | \(\displaystyle \small x^{\,2}\color{green}{-3x}\) |
| | \(\displaystyle \small \color{green}{ -3x^{\,2}}-4x-1\) |
3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{green}{-3x^{\,2}}-4x-1\) многочлен \(\displaystyle \color{green}{-3x}\cdot(x+1)=-3x^{\,2}-3x \,{\small :}\)
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \small x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1\) | \(\displaystyle \small x+1\) |
| \(\displaystyle \small x^{\,3}+\,\,x^{\,2}\) | \(\displaystyle \small x^{\,2}\color{green}{-3x}\) |
| | \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \small \color{green}{ -3x^{\,2}}-4x-1\) |
| | \(\displaystyle \small -3x^{\,2}-3x\) |
| | \(\displaystyle \small -x-1\) |
Получаем \(\displaystyle -x-1{\small .}\)
Шаг 3. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{orange}{-x-1}}\)
1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{orange}{-x}-1{\small ,}\) это \(\displaystyle \color{orange}{-x}{\small .}\)
2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{orabge}{-x}\) на одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{\color{orange}{-x}}{\color{red}{x}}=\color{orange}{-1}{\small .}\)
Записываем результат как третье слагаемое частного:
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \small x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1\) | \(\displaystyle \small x+1\) |
| \(\displaystyle \small x^{\,3}\,+\,x^{\,2}\) | \(\displaystyle \small x^{\,2}-3x\color{orange}{-1}\) |
| | \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \small -3x^{\,2}-4x-1\) |
| | \(\displaystyle \small -3x^{\,2}-3x\) |
| | \(\displaystyle \small \color{orange}{-x}-1\) |
3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{orange}{-x}-1\) многочлен \(\displaystyle \color{orange}{-1}\cdot(x+1)=-x-1 {\small :}\)
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \small x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1\) | \(\displaystyle \small x+1\) |
| \(\displaystyle \small x^{\,3}\,+\,x^{\,2}\) | \(\displaystyle \small x^{\,2}-3x\color{orange}{-1}\) |
| | \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \small -3x^{\,2}-4x-1\) |
| | \(\displaystyle \small -3x^{\,2}-3x\) |
| | | \(\displaystyle \phantom{\small x^{\,2}} \,\,\,\, -\) | \(\displaystyle \small \color{orange}{-x}-1\) |
| | \(\displaystyle \small -x-1\) |
| | | \(\displaystyle \small 0\) |
В итоге получаем \(\displaystyle 0{\small ,}\) процесс деления закончен.
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{blue}{ x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1}\) | \(\displaystyle x+1\) |
| \(\displaystyle x^{\,3}+x^{\,2}\) | \(\displaystyle x^{\,2}-3x-1\) |
| | \(\displaystyle \phantom{\,\,}-\) | \(\displaystyle \color{green}{ -3x^{\,2}-4x-1}\) |
| | \(\displaystyle -3x^{\,2}-3x\) |
| | | \(\displaystyle \phantom{\small 25x^{\,2}11} \) | \(\displaystyle \color{orange}{-x-1}\) |
| | \(\displaystyle -x-1\) |
| | | \(\displaystyle 0\,\) |
Значит,
\(\displaystyle x^{\,3}-2x^{\,2}-4x-1=(x+1)\cdot (x^{\,2}-3x-1){\small .}\)
Исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle (x+1)(x^{\,2}-3x-1)=0{\small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x+1=0\) или \(\displaystyle x^{\,2}-3x-1=0{\small .}\)
Первый корень \(\displaystyle x_{1}=-1\) уже найден, и нам остаётся решить квадратное уравение
\(\displaystyle x^{\,2}-3x-1=0{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle x^{\,2}-3x-1=0\) имеет два корня: \(\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) и \(\displaystyle x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}{\small .} \)
Найдем дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}=(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)=13{\small }\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm{D}}=\sqrt{13}{\small.}\)
Значит, корни уравнения равны
\(\displaystyle x_2=\frac{3+\sqrt{13}}{2 }{\small ,}\)
\(\displaystyle x_3=\frac{3-\sqrt{13}}{2}{\small .}\)
Таким образом, исходное уравнение имеет три различных корня:
\(\displaystyle x_1=-1{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{3+\sqrt{13}}{2}{\small,}\)
\(\displaystyle x_3=\frac{3-\sqrt{13}}{2}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=-1{\small,} \;\; x_2=\frac{3+\sqrt{13}}{2}{\small,} \;\; x_3=\frac{3-\sqrt{13}}{2}{\small.}\)