Решите уравнение
\(\displaystyle x^{\,4}-3x^{\,3}-12x^{\,2}+52x-48=0{\small .}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.
\(\displaystyle x_1=\)
\(\displaystyle x_2=\)
\(\displaystyle x_3=\)
\(\displaystyle x_4=\)
Решим уравнение
\(\displaystyle x^{\,4}-3x^{\,3}-12x^{\,2}+52x-48=0{\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами
\(\displaystyle x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+\color{blue}{a_n}=0\)
имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена \(\displaystyle \color{blue}{a_n}{\small .}\)
Будем искать корни уравнения
\(\displaystyle x^{\,4}-3x^{\,3}-12x^{\,2}+52x \color{blue}{-48}=0{\small }\)
среди делителей числа \(\displaystyle \color{blue}{-48}{\small .}\)
Делителями числа \(\displaystyle -48\) являются числа:
\(\displaystyle \pm1;\,\,\pm2;\,\,\pm3;\,\,\pm4;\,\,\pm6;\,\,\pm8;\,\,\pm12;\,\,\pm16;\,\,\pm24;\,\,\pm48{\small .}\)
Будем подставлять найденные делители в уравнение
\(\displaystyle x^{\,4}-3x^{\,3}-12x^{\,2}+52x-48=0{\small ,}\)
пока не найдём корень.
Для нахождения других корней данного уравнения воспользуемся теоремой
Если число \(\displaystyle \color{green}{x_0}\) является корнем многочлена степени \(\displaystyle n\)
\(\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n{\small ,} \) где \(\displaystyle a_{0}\, \cancel{=}\,0{\small ,}\)
то этот многочлен можно представить в виде произведения
\(\displaystyle P(x)=(x-\color{green}{x_{0}})P_{1} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{1} (x)\) – многочлен степени\(\displaystyle (n-1){\small .}\)
\(\displaystyle x=\color{green}{ 2}\) является корнем многочлена \(\displaystyle P(x)=x^{\,4}-3x^{\,3}-12x^{\,2}+52x-48{\small .}\)
Значит, многочлен четвёртой степени \(\displaystyle P(x)\) можно представить в виде произведения
\(\displaystyle x^{\,4}-3x^{\,3}-12x^{\,2}+52x-48=(x-\color{green}{2})P_{1} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{1} (x)\) – многочлен третьей степени.
Получаем
\(\displaystyle P_{1} (x)=x^{\,3}-x^{\,2}-14x+24\)
и
\(\displaystyle x^{\,4}-3x^{\,3}-12x^{\,2}+52x-4=(x-2)\cdot (x^{\,3}-x^{\,2}-14x+24){\small .}\)
Исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle (x-2)\cdot (x^{\,3}-x^{\,2}-14x+24)=0{\small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x-2=0\) или \(\displaystyle x^{\,3}-x^{\,2}-14x+24=0{\small .}\)
Первый корень \(\displaystyle x_{1}=2\) уже найден и нам остаётся решить уравнение третьей степени
\(\displaystyle x^{\,3}-x^{\,2}-14x+ \color{blue}{24}=0{\small .}\)
Будем решать его тем же способом, что и исходное уравнение – искать возможные корни среди делителей числа \(\displaystyle \color{blue}{24}{\small .}\)
Делителями числа \(\displaystyle 24\) являются числа:
\(\displaystyle \pm1;\,\,\pm2;\,\,\pm3;\,\,\pm4;\,\,\pm6;\,\,\pm8;\,\,\pm12;\,\,\pm24{\small .}\)
Значит, многочлен третьей степени \(\displaystyle P_1(x)\) можно представить в виде произведения
\(\displaystyle x^{\,3}-x^{\,2}-14x+ 24=(x-\color{green}{2})P_{2} (x){\small ,}\)
где \(\displaystyle P_{2} (x)\) – многочлен второй степени.
\(\displaystyle P_{2} (x)=x^{\,2}+x-12{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle x^{\,3}-x^{\,2}-14x+ 24=(x-2)(x^{\,2}+x-12){\small .}\)
Так как
\(\displaystyle x^{\,4}-3x^{\,3}-12x^{\,2}+52x-48=(x-2)(x^{\,3}-x^{\,2}-14x+24){\small ,}\)
получаем
\(\displaystyle x^{\,4}-3x^{\,3}-12x^{\,2}+52x-48=(x-2)(x-2)(x^{\,2}+x-12){\small .}\)
Значит, исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle (x-2)(x-2)(x^{\,2}+x-12)=0{\small ,}\)
или
\(\displaystyle (x-2)^{2}(x^{\,2}+x-12)=0{\small }\)
откуда
\(\displaystyle (x-2)^{2}=0\) или \(\displaystyle x^{\,2}+x-12=0{\small .}\)
Корень \(\displaystyle x_{1}=2\) уже найден, и нам остаётся решить квадратное уравнение
\(\displaystyle x^{\,2}+x-12=0{\small .}\)
Таким образом, исходное уравнение имеет три различных корня:
\(\displaystyle x_1=2{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=3{\small,}\)
\(\displaystyle x_3=-4{\small.}\)
Последнюю ячейку следует оставить пустой.
Ответ: \(\displaystyle x_1=2{\small,}\, x_2=3{\small,}\, x_3=-4{\small.}\)