Одна сторона прямоугольника на \(\displaystyle 3\)см меньше, а другая – в \(\displaystyle 2\) раза больше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата, если она больше площади прямоугольника на \(\displaystyle 8\)см2.
Если задача имеет одно решение – оставьте последнюю ячейку пустой.
Известна взаимосвязь между площадями прямоугольника и квадрата, а также взаимосвязь между длинами их сторон.
Требуется найти площадь квадрата.
1. Выберем неизвестные (неизвестное) и составим уравнение (уравнения).
Пусть \(\displaystyle x\)см – длина стороны квадрата.
Тогда площадь квадрата равна \(\displaystyle \blue{x^2}\)см2.
По условию
- длина одной стороны прямоугольника на \(\displaystyle 3\)см меньше длины стороны квадрата, значит,
её длина равна \(\displaystyle (x-3)\)см, - длина другой стороны прямоугольника в \(\displaystyle 2\)раза больше, стороны квадрата, значит,
её длина равна \(\displaystyle 2x\)см.
Тогда площадь прямоугольника равна \(\displaystyle \green{2x(x-3)}\)см2.
Известно, что площадь квадрата на \(\displaystyle 8\) см2 больше площади прямоугольника.
Вычитая из большей величины меньшую, приходим к уравнению:
\(\displaystyle \blue{x^2}-\green{2x(x-3)}=8{\small .}\)
2. Решим данное уравнение.
Сначала преобразуем его к более простому виду. Получим квадратное уравнение:
\(\displaystyle {x^2-6x+8=0}{\small .}\)
\(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=4{\small }\)– корни квадратного уравнения \(\displaystyle {x^2-6x+8=0}{\small .}\)
3. Ответим на вопрос задачи.
За \(\displaystyle x\)см приняли длину стороны квадрата.
Квадраты с длинами сторон \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 2\) существуют.
Проверим, существует ли при этом прямоугольник с длинами сторон \(\displaystyle (x-3)\)см и \(\displaystyle 2x{\small }\)см.
1. Если \(\displaystyle x=4{\small ,}\) то \(\displaystyle x-3=1\) и \(\displaystyle 2x=8{\small. }\) Прямоугольник с такими длинами сторон существуют.
2. Если \(\displaystyle x=2{\small ,}\) то \(\displaystyle x-3=-1{\small. }\) Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то такого прямоугольника не существует.
Итак, \(\displaystyle x=4\)см.
В задаче требуется найти площадь квадрата. Площадь квадрата со стороной \(\displaystyle 4\) равна \(\displaystyle 16\)см2.
Ответ: \(\displaystyle 16\)см2.