Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle \frac{p^2x^2 + 36x + 12p}{x-p-7} =0 \)
имеет корень, равный \(\displaystyle 1{ \small .}\)
Если таких значений нет, то оставьте оба поля ввода пустыми.
Если такое значение одно, то оставьте второе поле ввода пустым.
\(\displaystyle x=1 \)– корень уравнения \(\displaystyle \frac{p^2x^2 + 36x + 12p}{x-p-7} =0 { \small .}\)
Это означает, что при подстановке \(\displaystyle x=1 \) в уравнение вместо переменной \(\displaystyle x\) получим верное равенство:
\(\displaystyle \frac{p^2 \cdot 1^2 + 36\cdot 1 + 12p}{1-p-7} = 0 { \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{p^2 + 36 + 12p}{-6-p} = 0{ \small. }\)
Решим полученное дробно-рациональное уравнение.
Воспользуемся правилом.
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x) =\not 0{\small . } \end{cases}\)
Значит,
\(\displaystyle \begin{cases} p^2 + 36 + 12p=0{\small , } \\ -6-p =\not 0{\small . } \end{cases}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \begin{cases} p=-6{\small , } \\ p =\not -6{\small . } \end{cases}\)
Данная система решений не имеет.
Итак, ни при каких \(\displaystyle p \) число \(\displaystyle 1 \) не является корнем уравнения \(\displaystyle \frac{p^2x^2 + 36x + 12p}{x-p-7} =0 { \small .}\)
Ответ: таких значений нет.