Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle \frac{p^2x^2 - 4p x + 3}{x+p-4} =0 \)
имеет корень, равный \(\displaystyle 1{ \small .}\)
Если таких значений нет, то оставьте оба поля ввода пустыми.
Если такое значение одно, то оставьте второе поле ввода пустым.
\(\displaystyle x=1 \)– корень уравнения \(\displaystyle \frac{p^2x^2 - 4p x + 3}{x+p-4} =0 { \small .}\)
Это означает, что при подстановке \(\displaystyle x=1 \) в уравнение вместо переменной \(\displaystyle x\) получим верное равенство:
\(\displaystyle \frac{p^2 \cdot 1^2 - 4p \cdot 1 + 3}{1+p-4} =0 { \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{p^2 - 4p + 3}{p-3} = 0 { \small .} \)
Решим полученное дробно-рациональное уравнение.
Воспользуемся правилом.
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Значит,
\(\displaystyle \begin{cases} p^2 - 4p + 3=0{\small , } \\ p-3\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \begin{cases} p=1{\small , } \, \, p=3\\ p\, \cancel{=}\, 3{\small . } \end{cases}\)
Так как \(\displaystyle 1\, \cancel{=}\, 3 \) (не обращает знаменатель в \(\displaystyle 0\)), то \(\displaystyle p=1\) – решение исходного уравнения. А \(\displaystyle p=3\) не является решением исходного уравнения.
Итак, только при \(\displaystyle p = 1 \) число \(\displaystyle x=1 \) является корнем уравнения \(\displaystyle \frac{p^2x^2 - 4p x + 3}{x+p-4} =0 { \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 1 { \small .}\)