Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle | x -5| =p-3 \)
не имеет корней.
\(\displaystyle p \in \)
Требуется найти все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle | x -5| =p-3 \)
не имеет корней.
Воспользуемся правилом.
Решение уравнения \(\displaystyle \small{\left|x\right|=a}\)
\(\displaystyle 1)\) Если число \(\displaystyle a\) положительно (\(\displaystyle a>0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) имеет два решения,
\(\displaystyle x=a\) и \(\displaystyle x=-a{\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Уравнение \(\displaystyle |x|=0\) имеет одно решение
\(\displaystyle x=0{\small .}\)
\(\displaystyle 3)\) Если число \(\displaystyle a\) отрицательно (\(\displaystyle a<0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) не имеет решений.
В нашем случае \(\displaystyle a=p-3{\small . } \)
По правилу,
- при \(\displaystyle p-3<0{\small}\) уравнение не имеет корней,
- при \(\displaystyle p-3=0{\small}\) получается \(\displaystyle x-5=0\) и уравнение имеет корень \(\displaystyle x=5{\small,}\)
- при \(\displaystyle p-3>0{\small}\) получается \(\displaystyle x-5=\pm (p-3)\) и уравнение имеет два корня \(\displaystyle x=5\pm (p-3){\small.}\)
Таким образом, уравнение не имеет корней при
\(\displaystyle p-3<0{\small,}\)
\(\displaystyle p<3{\small,}\)
\(\displaystyle p\in (-\infty ;3){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle p\in (-\infty ;3){\small .}\)