01Математика - 9 класс. Алгебра - Уравнения с модулем и параметром (количество корней) (короткая версия)

Правило

Решение уравнения \(\displaystyle \small{\left|x\right|=a}\)

\(\displaystyle 1)\) Если число \(\displaystyle a\) положительно (\(\displaystyle a>0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) имеет два решения,

\(\displaystyle x=a\) и \(\displaystyle x=-a{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Уравнение \(\displaystyle |x|=0\) имеет одно решение

\(\displaystyle x=0{\small .}\)

\(\displaystyle 3)\) Если число \(\displaystyle a\) отрицательно (\(\displaystyle a<0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) не имеет решений.

Для нахождения корней многочлена \(\displaystyle p^2-6p+8{\small }\) решим квадратное уравнение

\(\displaystyle p^2-6p+8=0{ \small .} \)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (-6)^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{4}=2{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle p_1= \frac{-(-6)-2}{2}=\frac{4}{2}=2{ \small ,}\)

\(\displaystyle p_2= \frac{-(-6)+2}{2}=\frac{8}{2}=4{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle p_1=2 \) и \(\displaystyle p_2=4 \) – корни многочлена \(\displaystyle p^2-6p+8{\small .} \)

Поскольку неравенство \(\displaystyle p^2-6p+8<0{\small}\) строгое, то все корни многочлена \(\displaystyle p^2-6p+8{\small} \) обозначаются на координатной прямой выколотыми точками.

Значит, \(\displaystyle p=2{\small }\) и \(\displaystyle p=4\) обозначаются выколотыми точками.

По правилу

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+bx+c=\color{red}{ a}(x-\color{blue}{x_1})(x-\color{blue}{x_2}){ \small ,}\)

где \(\displaystyle \color{blue}{x_1 }\) и \(\displaystyle \color{blue}{x_2} \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+bx+c=0{\small .}\)

получаем

\(\displaystyle p^2-6p+8=(p-\color{blue}{2})(p-\color{blue}{4}){ \small .}\)

Из интервала \(\displaystyle (4;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle p{\small .}\) Например,\(\displaystyle p=10{\small :}\)

\(\displaystyle f(10)=(10-2)(10-4)=8 \cdot 6>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (4;+\infty){\small :}\)

Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:

Правило

Расстановка знаков в методе интервалов для целой рациональной или дробно-рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)

Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
- если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
- если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.

Если множитель \(\displaystyle (x-a)\) входит в числитель и знаменатель дробно-рациональной функции, его степень может быть определена как разность степеней.

В нашем случае в выражение

\(\displaystyle f(p)=(p-2)(p-4)\)

все линейные множители входят в нечётной степени.

Значит, знаки функции на интервалах чередуются.

Теория: 02 Уравнения с модулем и параметром (количество корней) (короткая версия)

Решение уравнения \(\displaystyle \small{\left|x\right|=a}\)

Разложение на множители

Расстановка знаков в методе интервалов для целой рациональной или дробно-рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)