Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle | x - 3| =p-2 \)
имеет ровно два корня.
\(\displaystyle p \in \)
Требуется найти все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle | x - 3| =p-2 \)
имеет ровно два корня.
Воспользуемся правилом.
Решение уравнения \(\displaystyle \small{\left|x\right|=a}\)
\(\displaystyle 1)\) Если число \(\displaystyle a\) положительно (\(\displaystyle a>0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) имеет два решения,
\(\displaystyle x=a\) и \(\displaystyle x=-a{\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Уравнение \(\displaystyle |x|=0\) имеет одно решение
\(\displaystyle x=0{\small .}\)
\(\displaystyle 3)\) Если число \(\displaystyle a\) отрицательно (\(\displaystyle a<0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) не имеет решений.
В нашем случае \(\displaystyle a=p-2{\small . } \)
По правилу,
- при \(\displaystyle p-2<0{\small}\) уравнение не имеет корней,
- при \(\displaystyle p-2=0{\small}\) получается \(\displaystyle x-3=0\) и уравнение имеет корень \(\displaystyle x=3{\small,}\)
- при \(\displaystyle p-2>0{\small}\) получается \(\displaystyle x-3=\pm (p-2)\) и уравнение имеет два корня \(\displaystyle x=3\pm (p-2){\small.}\)
Таким образом, уравнение имеет ровно два корня при
\(\displaystyle p-2>0{\small,}\)
\(\displaystyle p>2{\small,}\)
\(\displaystyle p\in (2;+\infty){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle p\in (2;+\infty){\small .}\)