Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle | x -5 | =p^2-7p+12 \)
имеет ровно один корень.
Если таких значений нет, то оставьте оба поля ввода пустыми.
Если такое значение одно, то оставьте второе поле ввода пустым.
Требуется найти все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых уравнение
\(\displaystyle | x -5 | =p^2-7p+12 \)
имеет ровно один корень.
Воспользуемся правилом.
Решение уравнения \(\displaystyle \small{\left|x\right|=a}\)
\(\displaystyle 1)\) Если число \(\displaystyle a\) положительно (\(\displaystyle a>0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) имеет два решения,
\(\displaystyle x=a\) и \(\displaystyle x=-a{\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Уравнение \(\displaystyle |x|=0\) имеет одно решение
\(\displaystyle x=0{\small .}\)
\(\displaystyle 3)\) Если число \(\displaystyle a\) отрицательно (\(\displaystyle a<0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) не имеет решений.
В нашем случае \(\displaystyle a=p^2-7p+12{\small . } \)
По правилу,
- при \(\displaystyle p^2-7p+12<0{\small}\) уравнение не имеет корней,
- при \(\displaystyle p^2-7p+12=0{\small}\) получается \(\displaystyle x-5=0\) и уравнение имеет один корень \(\displaystyle x=5{\small,}\)
- при \(\displaystyle p^2-7p+12>0{\small}\) получается \(\displaystyle x-5=\pm (p^2-7p+12)\) и уравнение имеет два корня \(\displaystyle x=5\pm (p^2-7p+12){\small.}\)
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при
\(\displaystyle p^2-7p+12=0{\small.}\)
Решим получившееся квадратное уравнение.
\(\displaystyle p_1 = 4 \) и \(\displaystyle p_2 = 3{\small }\) – корни данного уравнения.
Это значит, что исходное уравнение имеет ровно один корень при \(\displaystyle p=4\small \) и \(\displaystyle p=3\small.\)
Ответ: \(\displaystyle p_1=4\small,\) \(\displaystyle p_2=3\small.\)