Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \small,\) при которых решением неравенства
\(\displaystyle | x +6 | > p+2 \small\)
является любое действительное число.
\(\displaystyle p \in \)
Требуется найти все значения параметра \(\displaystyle p\small, \) при которых решением неравенства
\(\displaystyle | x +6 | > p+2 \small\)
является любое действительное число.
Сделаем замену переменной \(\displaystyle x+6=t\small.\)
Получим неравенство
\(\displaystyle | t | > p+2 \small.\)
Зависимость \(\displaystyle t=x+6\small\) каждому значению \(\displaystyle t\small\) ставит в соответствие ровно одно значение \(\displaystyle x\small.\)
Значит, решением исходного неравенства является любое действительное число тогда и только тогда, когда решением неравенства \(\displaystyle | t | > p+2 \small\) является любое действительное число.
Найдем все значения параметра \(\displaystyle p\small, \) при которых решением неравенства
\(\displaystyle | t | > p+2 \small\)
является любое действительное число.
Используем правило
Решение неравенства \(\displaystyle \small{\left|x\right|> a}\)
\(\displaystyle 1)\) Если число \(\displaystyle a\) положительно (\(\displaystyle a>0\)), то решениями неравенства \(\displaystyle |x|>a\) будут значения
\(\displaystyle x<-a{\small}\) и \(\displaystyle x>a{\small,}\)
или \(\displaystyle x\in (-\infty ;-a)\cup (a;+\infty ){\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Решениями неравенства \(\displaystyle |x|>0\) будут значения
\(\displaystyle x<0{\small}\) и \(\displaystyle x>0{\small,}\)
или \(\displaystyle x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty ){\small.}\)
\(\displaystyle 3)\) Если число \(\displaystyle a\) отрицательно (\(\displaystyle a< 0\)), то решениями неравенства \(\displaystyle |x|>a\) будут любые значения \(\displaystyle x{\small,}\)
или \(\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty ){\small.}\)
при \(\displaystyle a=p+2{\small.}\)
По правилу, решением неравенства является любое действительное число тогда и только тогда, когда
\(\displaystyle p+2 <0\small,\)
\(\displaystyle p< -2 \small,\)
\(\displaystyle p\in (-\infty ;-2){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle p\in (-\infty ;-2){\small .}\)