Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \small,\) при которых решением неравенства
\(\displaystyle | x+7 | \le p+3 \small\)
не имеет решений.
\(\displaystyle p \in \)
Требуется найти все значения параметра \(\displaystyle p\small, \) при которых неравенство
\(\displaystyle | x+7 | \le p+3 \small\)
не имеет решений.
Сделаем замену переменной \(\displaystyle x+7=t\small.\)
Получим неравенство
\(\displaystyle | t | \le p+3 \small.\)
Зависимость \(\displaystyle t=x+7\small\) каждому значению \(\displaystyle t\small\) ставит в соответствие ровно одно значение \(\displaystyle x\small.\)
Значит, исходноое неравенство не имеет решений тогда и только тогда, когда неравенство \(\displaystyle | t | \le p+3 \small\) не имеет решений.
Найдем все значения параметра \(\displaystyle p\small, \) при которых неравенство
\(\displaystyle | t | \le p+3 \small\)
не имеет решений.
Используем правило
Решение неравенства \(\displaystyle \small{\left|x\right|\le a}\)
\(\displaystyle 1)\) Если число \(\displaystyle a\) положительно (\(\displaystyle a>0\)), то решениями неравенства \(\displaystyle |x|\le a\) будут значения
\(\displaystyle -a\le x\le a{\small,}\) или \(\displaystyle x\in [-a;a]{\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Неравенство \(\displaystyle |x|\le 0\) имеет одно решение
\(\displaystyle x=0{\small .}\)
\(\displaystyle 3) \) Если число \(\displaystyle a\) отрицательно (\(\displaystyle a< 0\)), то неравенство \(\displaystyle |x|\le a\) не имеет решений.
при \(\displaystyle a=p+3{\small.}\)
По правилу, неравенство не имеет решений тогда и только тогда, когда
\(\displaystyle p+3 < 0\small,\)
\(\displaystyle p < -3 \small,\)
\(\displaystyle p\in (-\infty ;-3){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle p\in (-\infty ;-3){\small .}\)