Найдите все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых система уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{alignedat}{2}&y+|x|&&=3+p{\small,}\\&y-|x|&&=3p+5{\small}\end{alignedat}\right. \)
имеет два решения.
\(\displaystyle p \in \)
Требуется найти все значения параметра \(\displaystyle p \), при которых система уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{alignedat}{2}&y+|x|&&=3+p{\small,}\\&y-|x|&&=3p+5{\small}\end{alignedat}\right. \)
имеет два решения.
Из первого уравнения \(\displaystyle y=3+p-|x|\small. \)
Подставляя во второе уравнение системы, получим:
\(\displaystyle 3+p-|x|-|x|=3p+5\small,\)
\(\displaystyle -2|x|=3p+5-3-p\small,\)
\(\displaystyle -2|x|=2p+2\small,\)
\(\displaystyle |x|=-p-1\small.\)
Зависимость \(\displaystyle y=3+p-|x|\small\) каждому значению \(\displaystyle x\small\) ставит в соответствие ровно одно значение \(\displaystyle y\small.\)
Значит, исходная система уравнений имеет два решения тогда и только тогда, когда уравнение \(\displaystyle |x|=-p-1\small\) имеет два корня.
Воспользуемся правилом.
Решение уравнения \(\displaystyle \small{\left|x\right|=a}\)
\(\displaystyle 1)\) Если число \(\displaystyle a\) положительно (\(\displaystyle a>0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) имеет два решения,
\(\displaystyle x=a\) и \(\displaystyle x=-a{\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Уравнение \(\displaystyle |x|=0\) имеет одно решение
\(\displaystyle x=0{\small .}\)
\(\displaystyle 3)\) Если число \(\displaystyle a\) отрицательно (\(\displaystyle a<0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) не имеет решений.
В нашем случае \(\displaystyle a=-p-1{\small . } \)
По правилу, уравнение имеет два корня в том и только том случае, когда
\(\displaystyle -p-1>0{\small,}\)
\(\displaystyle -p>1{\small,}\)
\(\displaystyle p<-1{\small,}\)
\(\displaystyle p\in (-\infty ;-1){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle p\in (-\infty ;-1){\small .}\)