При каком значении параметра \(\displaystyle p\) система уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{alignedat}{2}&y+|x+3|&&=5+p{\small,}\\&y-|x+3|&&=5p-9{\small}\end{alignedat}\right. \)
имеет единственное решение?
Требуется найти значения параметра \(\displaystyle p \), при которых система уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{alignedat}{2}&y+|x+3|&&=5+p{\small,}\\&y-|x+3|&&=5p-9{\small}\end{alignedat}\right. \)
имеет единственное решение?
Из первого уравнения \(\displaystyle y=5+p-|x+3|\small. \)
Подставляя во второе уравнение системы, получим:
\(\displaystyle 5+p-|x+3|-|x+3|=5p-9\small,\)
\(\displaystyle -2|x+3|=5p-9-5-p\small,\)
\(\displaystyle -2|x+3|=4p-14\small,\)
\(\displaystyle |x+3|=-2p+7\small.\)
Зависимость \(\displaystyle y=5+p-|x+3|\small\) каждому значению \(\displaystyle x\small\) ставит в соответствие ровно одно значение \(\displaystyle y\small.\)
Значит, исходная система уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение \(\displaystyle |x+3|=-2p+7\small\) имеет один корень.
Сделаем замену переменной \(\displaystyle x+3=t\small.\)
Получим уравнение
\(\displaystyle |t|=-2p+7\small.\)
Зависимость \(\displaystyle t=x+3\small\) каждому значению \(\displaystyle t\small\) ставит в соответствие ровно одно значение \(\displaystyle x\small.\)
Значит, уравнение \(\displaystyle |x+3|=-2p+7\small\) имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение \(\displaystyle |t|=-2p+7\small\) имеет один корень.
Найдем все значения параметра \(\displaystyle p\small, \) при которых уравнение
\(\displaystyle |t|=-2p+7\small\)
имеет один корень.
Воспользуемся правилом.
Решение уравнения \(\displaystyle \small{\left|x\right|=a}\)
\(\displaystyle 1)\) Если число \(\displaystyle a\) положительно (\(\displaystyle a>0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) имеет два решения,
\(\displaystyle x=a\) и \(\displaystyle x=-a{\small.}\)
\(\displaystyle 2)\) Уравнение \(\displaystyle |x|=0\) имеет одно решение
\(\displaystyle x=0{\small .}\)
\(\displaystyle 5)\) Если число \(\displaystyle a\) отрицательно (\(\displaystyle a<0\)), то уравнение \(\displaystyle |x|=a\) не имеет решений.
В нашем случае \(\displaystyle a=-2p+7{\small . } \)
По правилу, уравнение имеет один корень в том и только том случае, когда
\(\displaystyle -2p+7=0{\small,}\)
\(\displaystyle -2p=-7{\small,}\)
\(\displaystyle p=3{,}5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 3{,}5{\small .}\)