Найдите высоту \(\displaystyle AH\) треугольника \(\displaystyle ABC\small,\) если координаты его вершин \(\displaystyle A(-4;\,5),\,B(2;\,4)\) и \(\displaystyle C(-2;\,-2)\small.\)
Высота – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону . То есть длина высоты – это расстояние от вершины \(\displaystyle A\) до прямой, проходящей через точки \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\small.\)
Тогда, чтобы решить задачу:
- запишем уравнение прямой, проходящей через точки \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small;}\)
- найдем расстояние от точки \(\displaystyle A\) до этой прямой.
\(\displaystyle \begin{cases}2k+b=4,\\-2k+b=-2.\end{cases}\)
Сложив эти уравнения, получаем:
\(\displaystyle 2b=2\small,\)
\(\displaystyle b=1\small.\)
Подставим в первое уравнение:
\(\displaystyle 2k+1=4\small,\)
\(\displaystyle k=\frac{3}{2}\small.\)
Тогда уравнение прямой:
\(\displaystyle y=\frac{3}{2}x+1\small.\)
Запишем уравнение этой прямой в общем виде:
\(\displaystyle -\frac{3}{2}x+y-1=0\) или \(\displaystyle -3x+2y-2=0\small.\)
2. Найдем расстояние от точки \(\displaystyle A(-4;\,5)\) до прямой, заданной уравнением \(\displaystyle -3x+2y-2=0\small,\)пользуясь правилом:
Формула расстояния от точки до прямой
Расстояние \(\displaystyle d\) от точки \(\displaystyle P(x_0;\,y_0)\) до прямой \(\displaystyle l\small,\) заданной уравнением \(\displaystyle ax+by+c=0\small,\) равно \(\displaystyle d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\small.\) |  |
Подставим известные значения в формулу:
\(\displaystyle d=\frac{|-3\cdot (-4)+2\cdot 5-2|}{\sqrt{(-3)^2+2^2}}=\frac{|20|}{\sqrt{13}}=\frac{20\sqrt{13}}{13}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle AH=\frac{20\sqrt{13}}{13}\small.\)