Прямые, заданные уравнениями \(\displaystyle 2x+3y-22=0\) и \(\displaystyle 3x+2y-10=0\small,\) делят плоскость на четыре угла. Определите, какие из точек лежат на биссектрисах образовавшихся углов.
| лежат на одной из биссектрис | не лежат ни на одной из биссектрис |
Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от прямых, содержащих стороны угла.
Значит, если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от этой точки до прямых, содержащих стороны угла, равны.
Стороны образовавшихся углов принадлежат прямым, заданным уравнениями
\(\displaystyle 2x+3y-22=0\) и \(\displaystyle 3x+2y-10=0\small.\)
Воспользуемся правилом и для каждой точки сравним расстояния до этих прямых.
Формула расстояния от точки до прямой
Расстояние \(\displaystyle d\) от точки \(\displaystyle P(x_0;\,y_0)\) до прямой \(\displaystyle l\small,\) заданной уравнением \(\displaystyle ax+by+c=0\small,\) равно \(\displaystyle d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\small.\) |  |
Расстояние до прямой, заданной уравнением \(\displaystyle 2x+3y-22=0\small,\) равно
\(\displaystyle d_1=\frac{|2\cdot 2+3\cdot 14-22|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|24|}{\sqrt{13}}=\frac{24\sqrt{13}}{13}\small.\)
Расстояние до прямой, заданной уравнением \(\displaystyle 3x+2y-10=0\small,\) равно
\(\displaystyle d_2=\frac{|3\cdot 2+2\cdot 14-10|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|24|}{\sqrt{13}}=\frac{24\sqrt{13}}{13}\small.\)
Видим, что \(\displaystyle d_1=d_2\small.\) То есть точка \(\displaystyle A\) равноудалена от прямых из условия.
Значит, точка \(\displaystyle A\) принадлежит биссектрисе одного из углов.
Расстояние до прямой, заданной уравнением \(\displaystyle 2x+3y-22=0\small,\) равно
\(\displaystyle d_1=\frac{|2\cdot (-15)+3\cdot (-3)-22|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|-61|}{\sqrt{13}}=\frac{61\sqrt{13}}{13}\small.\)
Расстояние до прямой, заданной уравнением \(\displaystyle 3x+2y-10=0\small,\) равно
\(\displaystyle d_2=\frac{|3\cdot (-15)+2\cdot (-3)-10|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|-61|}{\sqrt{13}}=\frac{61\sqrt{13}}{13}\small.\)
Видим, что \(\displaystyle d_1=d_2\small.\) То есть точка \(\displaystyle B\) равноудалена от прямых из условия.
Значит, точка \(\displaystyle B\) принадлежит биссектрисе одного из углов.
Расстояние до прямой, заданной уравнением \(\displaystyle 2x+3y-22=0\small,\) равно
\(\displaystyle d_1=\frac{|2\cdot 17+3\cdot 6-22|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|30|}{\sqrt{13}}=\frac{30\sqrt{13}}{13}\small.\)
Расстояние до прямой, заданной уравнением \(\displaystyle 3x+2y-10=0\small,\) равно
\(\displaystyle d_2=\frac{|3\cdot 17+2\cdot 6-10|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|53|}{\sqrt{13}}=\frac{53\sqrt{13}}{13}\small.\)
Видим, что \(\displaystyle d_1\,\cancel =\,d_2\small.\) То есть точка \(\displaystyle C\) находится на разном расстоянии от прямых из условия.
Значит, точка \(\displaystyle C\) не принадлежит биссектрисе какого-либо из углов.
Ответ:
