Упростите выражение:
Определим порядок действий:
\(\displaystyle \color{Blue}{\left(\frac{3n}{n+5} \overset {\color {red}{\bf1}}{-} \frac{14n}{n^2+10n+25}\right) }\overset {\color {red}{\bf2}}{ \overset{\phantom {}}{\,:\,}} \color{green}{\frac{3n+1}{n^2-25}} \overset {\color {red}{\bf3}}{+} \color{purple}{\frac{5(n-5)}{n+5}} {\small. }\)
\(\displaystyle \color{Blue}{\left(\frac{3n}{n+5} {-} \frac{14n}{n^2+10n+25}\right) =\frac{n(3n+1)}{(n+5)^2}{\small .}}\)
В знаменателе второй дроби находится квадрат суммы:
\(\displaystyle n^2+10n+25=n^2+2\cdot 5\cdot n+5^2=(n+5)^2{\small. }\)
Тогда общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{3n}{n+5}\) и \(\displaystyle \frac{14n}{n^2+10n+25}\) равен \(\displaystyle (n+5)^2{\small. }\)
Приведём дроби к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{3n}{n+5} - \frac{14n}{n^2+10n+25}=\frac{3n}{n+5} - \frac{14n}{(n+5)^2}=\frac{3n(n+5)-14n}{(n+5)^2}{\small. }\)
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные:
\(\displaystyle \frac{3n(n+5)-14n}{(n+5)^2}=\frac{3n^2+15n-14n}{(n+5)^2}=\frac{3n^2+n}{(n+5)^2}{\small. }\)
Выражение в числителе разложим на множители:
\(\displaystyle \frac{3n^2+n}{(n+5)^2}=\color{Blue}{\frac{n(3n+1)}{(n+5)^2}}{\small. }\)
\(\displaystyle \color{Blue}{\frac{n(3n+1)}{(n+5)^2}} : \color{green}{\frac{3n+1}{n^2-25}} =\frac{n(3n+1)}{(n+5)^2} \cdot \frac{n^2-25}{3n+1} = \frac{n(3n+1)(n^2-25)}{(n+5)^2(3n+1)} {\small. }\)
Воспользуемся формулой разности квадратов для выражения \(\displaystyle n^2-25\) и сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{n(3n+1)(n^2-25)}{(n+5)^2(3n+1)} = \frac{n(3n+1)(n-5)(n+5)}{(n+5)^2(3n+1)}= \color{green}{\frac{n(n-5)}{n+5}}{\small. }\)
\(\displaystyle \color{green}{\frac{n(n-5)}{n+5}} + \color{purple}{\frac{5(n-5)}{n+5}}=\frac{n(n-5)+5(n-5)}{n+5}=\frac{(n-5)(n+5)}{n+5}=n-5{\small. }\)
Ответ: \(\displaystyle n-5{\small. }\)