Упростите выражение:
Определим порядок действий:
\(\displaystyle \left(\color{green}{\frac{1}{2-6n} \overset{\color{red}{\bf2}}{+}} \color{Blue}{\frac{1}{27n^3-1} \overset{\color{red}{\bf1}}{:} \frac{1+3n}{1+3n+9n^2}}\right) \overset{\color{red}{\bf3}}{\cdot} \color{purple}{\frac{2+6n}{n}} \)
\(\displaystyle \color{Blue}{\frac{1}{27n^3-1} {:} \frac{1+3n}{1+3n+9n^2} =\frac{1}{(3n-1)(3n+1)}{\small .}}\)
Деление заменим умножением на обратную дробь:
\(\displaystyle \color{Blue}{\frac{1}{27n^3-1} : \frac{1+3n}{1+3n+9n^2}}=\frac{1}{27n^3-1} \cdot \frac{1+3n+9n^2}{1+3n}=\frac{1+3n+9n^2}{(27n^3-1)(1+3n)}{\small .}\)
Упростим полученное выражение.
Разложим \(\displaystyle 27n^3-1\) на множители по формуле разности кубов:
\(\displaystyle 27n^3-1=(3n)^3-1^3=(3n-1)((3n)^2+3n+1^2)=(3n-1)(9n^2+3n+1){\small .}\)
Подставим полученное выражение вместо \(\displaystyle 27n^3-1\) и сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{1+3n+9n^2}{(27n^3-1)(1+3n)}=\frac{\cancel{1+3n+9n^2}}{(3n-1)\cancel{(9n^2+3n+1)}(1+3n)}=\color{Blue}{\frac{1}{(3n-1)(3n+1)}}{\small .}\)
\(\displaystyle \color{green}{\frac{1}{2-6n}+}\color{Blue}{\frac{1}{(3n-1)(3n+1)}}=\color{green}{-\frac{1}{2(3n+1)}}{\small .}\)
\(\displaystyle \color{green}{-\frac{1}{2(3n+1)}}\color{purple} {\cdot \frac{2+6n}{n}}=\color{purple}{-\frac{1}{n}} {\small .}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}&-\frac{1}{2(3n+1)}\cdot \frac{2+6n}{n}=-\frac{1\cdot (2+6n)}{2(3n+1)\cdot n}=-\frac{2+6n}{2n(3n+1)}=\\ \\& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=-\frac{2(1+3n)}{2n(3n+1)}=\color{purple}{-\frac{1}{n}}{\small .}\end{aligned} \)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{1}{n}{\small .}\)