Решите уравнение:
\(\displaystyle 3x^2-6x=-\frac{6}{x^2-2x+3}{\small.}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.
\(\displaystyle x_1=\)
\(\displaystyle x_2=\)
\(\displaystyle x_3=\)
\(\displaystyle x_4=\)
1. Заметим, что в уравнении
\(\displaystyle 3x^2-6x=-\frac{6}{x^2-2x+3}\)
присутствуют два выражения
\(\displaystyle x^2-2x\) и \(\displaystyle 3x^2-6x{\small,}\)
содержащие переменную \(\displaystyle x{\small.}\)
Вынесем в выражении \(\displaystyle 3x^2-6x\) общий множитель \(\displaystyle 3{\small}\) за скобку.
Получим уравнение
\(\displaystyle 3(\color {blue} {x^2-2x})=-\frac{6}{(\color {blue} {x^2-2x})+3}{\small,}\)
в котором повторяется выражение \(\displaystyle \color {blue} {x^2-2x}{\small.}\)
Поэтому можно сделать замену переменной \(\displaystyle t=x^2-2x{\small.}\)
Исходное уравнение примет вид:
\(\displaystyle 3t=-\frac{6}{t+3}{\small.}\)
2. Решим полученное уравнение.
Перенесём все члены уравнения в левую часть
\(\displaystyle 3t+\frac{6}{t+3}=0{\small}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{3t^2+9t+6}{t+3}=0{\small,}\)
равносильное системе:
\(\displaystyle \begin{cases}3t^2+9t+6 =0{\small , } \\ t+3 =\not 0{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle t=-1\) и \(\displaystyle t=-2\)
являются решениями системы, а значит, и уравнения с переменной \(\displaystyle t{ \small .}\)
3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle {t}=x^2-2x{\small,}\) то
\(\displaystyle -1=x^2-2x\) или \(\displaystyle -2=x^2-2x{\small.}\)
Перепишем уравнения в виде
| \(\displaystyle x^2-2x+1=0{\small,}\) | \(\displaystyle x^2-2x+2=0{\small}\) |
и решим каждое из них.
Значит, корень исходного уравнения: \(\displaystyle x=1{\small.}\)
| Ответ: | \(\displaystyle x_1=1{\small.}\) |