Skip to main content

Теория: 18 Преобразование буквенных выражений, содержащих степень с рациональным показателем (применение всех свойств, задания повышенной сложности)

Задание

Упростите выражение:

\(\displaystyle \left(\frac{2a^{\frac{3}{7}}}{a^{\frac{3}{7}}+1}+1\right) \cdot \left(1 + \frac{8a^{\frac{6}{7}}}{1-9a^{\frac{6}{7}}} \right)=\)
\frac{a^{\frac{3}{7}}-1}{3a^{\frac{3}{7}}-1}
Решение

1. Выполним действие в первых скобках:

 \(\displaystyle \frac{2a^{\frac{3}{7}}}{a^{\frac{3}{7}}+1} + 1= \frac{3a^{\frac{3}{7}} + 1}{a^{\frac{3}{7}}+1}{\small .}\)

Представим число \(\displaystyle 1\) в виде дроби со знаменателем \(\displaystyle a^{\frac{3}{7}}+1{\small :}\)

\(\displaystyle 1=\frac{a^{\frac{3}{7}}+1}{a^{\frac{3}{7}}+1}{\small }\)


и сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

\(\displaystyle \frac{2a^{\frac{3}{7}}}{a^{\frac{3}{7}}+1} + 1 = \frac{2a^{\frac{3}{7}}}{a^{\frac{3}{7}}+1} + \frac{a^{\frac{3}{7}}+1}{a^{\frac{3}{7}}+1} = \frac{2a^{\frac{3}{7}} + a^{\frac{3}{7}} + 1}{a^{\frac{3}{7}}+1} = \frac{3a^{\frac{3}{7}} + 1}{a^{\frac{3}{7}}+1}{\small .}\)

2. Выполним действие во вторых скобках:

\(\displaystyle 1 + \frac{8a^{\frac{6}{7}}}{1-9a^{\frac{6}{7}}} =\frac{1 - a^{\frac{6}{7}}}{1-9a^{\frac{6}{7}}}{\small.}\)

3. Умножим первую полученную дробь на вторую:
 

\(\displaystyle \frac{3a^{\frac{3}{7}}+1}{a^{\frac{3}{7}}+1} \cdot \frac{1-a^{\frac{6}{7}}}{1-9a^{\frac{6}{7}}}=\frac{(3a^{\frac{3}{7}}+1)(1-a^{\frac{6}{7}})}{(a^{\frac{3}{7}}+1)(1-9a^{\frac{6}{7}})} {\small .}\)  
 

4. Сократим полученную дробь:

\(\displaystyle \frac{(3a^{\frac{3}{7}}+1)(1-a^{\frac{6}{7}})}{(a^{\frac{3}{7}}+1)(1-9a^{\frac{6}{7}})}=\frac{1-a^{\frac{3}{7}}}{1-3a^{\frac{3}{7}}} {\small .}\)

Разложим \(\displaystyle 1 - 9a^{\frac{6}{7}}\) и \(\displaystyle 1-a^{\frac{6}{7}}\) на множители по формуле разности квадратов: 

  • \(\displaystyle 1 - 9a^{\frac{6}{7}} = 1^2 - (3a^{\frac{3}{7}})^2 = (1-3a^{\frac{3}{7}})(1+3a^{\frac{3}{7}}){\small .}\)
     
  • \(\displaystyle 1-a^{\frac{6}{7}} = 1^2-(a^{\frac{3}{7}})^2 = (1-a^{\frac{3}{7}})(1+a^{\frac{3}{7}}){\small .}\)  


Теперь можем сократить дробь:  

\(\displaystyle \frac{(3a^{\frac{3}{7}}+1)(1-a^{\frac{6}{7}})}{(a^{\frac{3}{7}}+1)(1-9a^{\frac{6}{7}})} =\frac{\color{Blue}{(3a^{\frac{3}{7}}+1)}(1-a^{\frac{3}{7}})\color{Green}{(1+a^{\frac{3}{7}})}}{\color{Green}{(a^{\frac{3}{7}}+1)}(1-3a^{\frac{3}{7}})\color{Blue}{(1+3a^{\frac{3}{7}})}}=\frac{1-a^{\frac{3}{7}}}{1-3a^{\frac{3}{7}}}{\small .}\)  

Умножив числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle -1{\small ,}\) получим:

\(\displaystyle \frac{1-a^{\frac{3}{7}}}{1-3a^{\frac{3}{7}}}=\frac{a^{\frac{3}{7}}-1}{3a^{\frac{3}{7}}-1}{\small .}\)  

Ответ: \(\displaystyle \frac{a^{\frac{3}{7}}-1}{3a^{\frac{3}{7}}-1}{\small .}\)