Skip to main content

Теория: 18 Преобразование буквенных выражений, содержащих степень с рациональным показателем (применение всех свойств, задания повышенной сложности)

Задание

Упростите выражение:

\(\displaystyle \left(\frac{12}{a^{\frac{2}{7}}-36} + \frac{1}{a^{\frac{1}{7}}+6} - \frac{3}{6-a^{\frac{1}{7}}}\right) \cdot \left(a^{\frac{2}{7}}-12a^{\frac{1}{7}}+36 \right)=\)
4(a^{\frac{1}{7}}-6)
Решение

1. Выполним сначала действие в скобках:

\(\displaystyle \frac{12}{a^{\frac{2}{7}}-36} + \frac{1}{a^{\frac{1}{7}}+6} - \frac{3}{6-a^{\frac{1}{7}}}{\small .} \)

 

Разложим знаменатель первой дроби на множители:

\(\displaystyle \frac{12}{(a^{\frac{1}{7}}-6)(a^{\frac{1}{7}}+6)} + \frac{1}{a^{\frac{1}{7}}+6} - \frac{3}{6-a^{\frac{1}{7}}}{\small .}\)


Заметим, что знаменатель последней дроби \(\displaystyle 6-a^{\frac{1}{7}}=-(a^{\frac{1}{7}}-6){\small .}\)

Тогда в качестве общего знаменателя дробей можем взять \(\displaystyle (a^{\frac{1}{7}}-6)(a^{\frac{1}{7}}+6){\small .}\)

 

• Приведём дроби к общему знаменателю и получим:

\(\displaystyle \frac{12}{a^{\frac{2}{7}}-36} + \frac{1}{a^{\frac{1}{7}}+6} - \frac{3}{6-a^{\frac{1}{7}}}=\frac{12+(a^{\frac{1}{7}}-6)+3(a^{\frac{1}{7}}+6)}{(a^{\frac{1}{7}}-6)(a^{\frac{1}{7}}+6)}{\small .}\)

• Раскроем скобки в числителе и приведём подобные:

\(\displaystyle \frac{12+(a^{\frac{1}{7}}-6)+3(a^{\frac{1}{7}}+6)}{(a^{\frac{1}{7}}-6)(a^{\frac{1}{7}}+6)}=\frac{12+a^{\frac{1}{7}}-6+3a^{\frac{1}{7}}+18}{(a^{\frac{1}{7}}-6)(a^{\frac{1}{7}}+6)}=\frac{24+4a^{\frac{1}{7}}}{(a^{\frac{1}{7}}-6)(a^{\frac{1}{7}}+6)}{\small .}\)


Заметим, что в числителе можно вынести общий множитель \(\displaystyle 4\) и сократить дробь:

\(\displaystyle \frac{24+4a^{\frac{1}{7}}}{(a^{\frac{1}{7}}-6)(a^{\frac{1}{7}}+6)}=\frac{4\color{blue}{(a^{\frac{1}{7}}+6)}}{(a^{\frac{1}{7}}-6)\color{blue}{(a^{\frac{1}{7}}+6)}}=\frac{4}{a^{\frac{1}{7}}-6}{\small .}\)

 


2. Умножим полученную дробь на \(\displaystyle (a^{\frac{2}{7}}-12a^{\frac{1}{7}}+36){\small :}\)

\(\displaystyle \frac{4}{a^{\frac{1}{7}}-6} \cdot (a^{\frac{2}{7}}-12a^{\frac{1}{7}}+36)=\frac{4(a^{\frac{2}{7}}-12a^{\frac{1}{7}}+36)}{a^{\frac{1}{7}}-6}{\small .}\)


Так как \(\displaystyle a^{\frac{2}{7}}-12a^{\frac{1}{7}}+36=(a^{\frac{1}{7}})^2 -2\cdot6 \cdot a^{\frac{1}{7}} + 6^2= (a^{\frac{1}{7}}-6)^2{\small ,}\) можем сократить дробь:


\(\displaystyle \frac{4(a^{\frac{2}{7}}-12a^{\frac{1}{7}}+36)}{a^{\frac{1}{7}}-6}=\frac{4\color{blue}{(a^{\frac{1}{7}}-6)^2}}{\color{blue}{a^{\frac{1}{7}}-6}}=4(a^{\frac{1}{7}}-6){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 4(a^{\frac{1}{7}}-6){\small .}\)