Теория: 18 Преобразование буквенных выражений, содержащих степень с рациональным показателем (применение всех свойств, задания повышенной сложности)

Деление заменим умножением на обратную дробь:

\(\displaystyle \color{Blue}{\frac{1}{8t^{\frac{3}{7}}-1} : \frac{1+2t^{\frac{1}{7}}}{1+2t^{\frac{1}{7}}+4t^{\frac{2}{7}}}}=\frac{1}{8t^{\frac{3}{7}}-1} \cdot \frac{1+2t^{\frac{1}{7}}+4t^{\frac{2}{7}}}{1+2t^{\frac{1}{7}}}=\frac{1+2t^{\frac{1}{7}}+4t^{\frac{2}{7}}}{(8t^{\frac{3}{7}}-1)(1+2t^{\frac{1}{7}})}{\small .}\)

Упростим полученное выражение.

Разложим \(\displaystyle 8t^{\frac{3}{7}}-1\) на множители по формуле разности кубов:

\(\displaystyle 8t^{\frac{3}{7}}-1=(2t^{\frac{1}{7}})^3-1^3=(2t^{\frac{1}{7}}-1)((2t^{\frac{1}{7}})^2+2t^{\frac{1}{7}}+1^2)=(2t^{\frac{1}{7}}-1)(4t^{\frac{2}{7}}+2t^{\frac{1}{7}}+1){\small .}\)

Подставим полученное выражение вместо \(\displaystyle 8t^{\frac{3}{7}}-1\) и сократим дробь:

\(\displaystyle \frac{1+2t^{\frac{1}{7}}+4t^{\frac{2}{7}}}{(8t^{\frac{3}{7}}-1)(1+2t^{\frac{1}{7}})}=\frac{\cancel{1+2t^{\frac{1}{7}}+4t^{\frac{2}{7}}}}{(2t^{\frac{1}{7}}-1)\cancel{(4t^{\frac{2}{7}}+2t^{\frac{1}{7}}+1)}(1+2t^{\frac{1}{7}})}=\color{Blue}{\frac{1}{(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)}}{\small .}\)

Разложим \(\displaystyle 2-4t^{\frac{1}{7}}\) на множители: \(\displaystyle 2-4t^{\frac{1}{7}}=2(1-2t^{\frac{1}{7}}){\small }\) и заметим, что \(\displaystyle 2(1-2t^{\frac{1}{7}})=-2(2t^{\frac{1}{7}}-1){\small .}\) Тогда 

\(\displaystyle \begin{aligned}&\frac{1}{2-4t^{\frac{1}{7}}}+\frac{1}{(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)}=\\ \\& \qquad\qquad\qquad= \frac{1}{-2(2t^{\frac{1}{7}}-1)}+\frac{1}{(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)}=\\ \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad = \frac{1}{(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)}-\frac{1}{2(2t^{\frac{1}{7}}-1)}{\small .}\end{aligned} \)

Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle 2(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)\) и произведём вычитание:

\(\displaystyle \frac{1}{(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)}-\frac{1}{2(2t^{\frac{1}{7}}-1)}=\frac{2-(2t^{\frac{1}{7}}+1)}{2(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)}{\small .}\)

Упростим полученное выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned}&\frac{2-(2t^{\frac{1}{7}}+1)}{2(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)}=\frac{2-2t^{\frac{1}{7}}-1}{2(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)}=\frac{1-2t^{\frac{1}{7}}}{2(2t^{\frac{1}{7}}-1)(2t^{\frac{1}{7}}+1)}=\\ \\& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad= \frac{-\cancel{(2t^{\frac{1}{7}}-1)}}{\cancel{2(2t^{\frac{1}{7}}-1)}(2t^{\frac{1}{7}}+1)}=\color{green}{-\frac{1}{2(2t^{\frac{1}{7}}+1)}}{\small .}\end{aligned} \)

\(\displaystyle \begin{aligned}&-\frac{1}{2(2t^{\frac{1}{7}}+1)}\cdot \frac{6+12t^{\frac{1}{7}}}{t^{\frac{1}{7}}}=-\frac{1\cdot (6+12t^{\frac{1}{7}})}{2(2t^{\frac{1}{7}}+1)\cdot t^{\frac{1}{7}}}=-\frac{6+12t^{\frac{1}{7}}}{2t^{\frac{1}{7}}(2t^{\frac{1}{7}}+1)}=\\ \\& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=-\frac{6(1+2t^{\frac{1}{7}})}{2t^{\frac{1}{7}}(2t^{\frac{1}{7}}+1)}=\color{purple}{-\frac{3}{t^{\frac{1}{7}}}}{\small .}\end{aligned} \)