Упростите выражение:
\(\displaystyle \left({x^{\frac{1}{3}}+\cfrac{18x^{\frac{1}{3}}+81}{x^{\frac{1}{3}}}}\right)\cdot \left(1-{\cfrac{9}{x^{\frac{1}{3}}+9}}\right){\small .}\)
\(\displaystyle x^{\frac{1}{3}} + \frac{18x^{\frac{1}{3}} + 81}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{(x^{\frac{1}{3}} + 9)^2}{x^{\frac{1}{3}}}{\small.}\)
Приведём выражения к общему знаменателю \(\displaystyle x^{\frac{1}{3}}{\small:}\)
\(\displaystyle x^{\frac{1}{3}} + \frac{18x^{\frac{1}{3}} + 81}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{18x^{\frac{1}{3}} + 81}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{2}{3}} + (18x^{\frac{1}{3}} + 81)}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{2}{3}} + 18x^{\frac{1}{3}} + 81}{x^{\frac{1}{3}}}{\small.}\)
В числителе воспользуемся формулой квадрата суммы:
\(\displaystyle x^{\frac{2}{3}} + 18x^{\frac{1}{3}} + 81 = (x^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot 9 \cdot x^{\frac{1}{3}} + 9^2 = (x^{\frac{1}{3}} + 9)^2{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle x^{\frac{1}{3}} + \frac{18x^{\frac{1}{3}} + 81}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{(x^{\frac{1}{3}} + 9)^2}{x^{\frac{1}{3}}}\)
\(\displaystyle 1-{\cfrac{9}{x^{\frac{1}{3}}+9}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}+9}{\small.}\)
3. Подставим полученные выражения в исходное:
\(\displaystyle \frac{(x^{\frac{1}{3}} + 9)^2}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} + 9} = \frac{(x^{\frac{1}{3}} + 9)^2 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot (x^{\frac{1}{3}} + 9)}{\small.}\)
Сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{(x^{\frac{1}{3}} + 9)^2 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}\cdot (x^{\frac{1}{3}} + 9)} = \frac{x^{\frac{1}{3}} + 9}{1} = x^{\frac{1}{3}} + 9{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x^{\frac{1}{3}} + 9{\small.}\)