Упростите выражение:
1. Выполним сначала действие в скобках:
\(\displaystyle \frac{5}{a^{\frac{1}{5}}+2} + \frac{4}{a^{\frac{2}{5}}-4} - \frac{1}{a^{\frac{1}{5}}-2}{\small .} \)
Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов:
\(\displaystyle \frac{5}{a^{\frac{1}{5}}+2} + \frac{4}{(a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2)} - \frac{1}{a^{\frac{1}{5}}-2}{\small .} \)
Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle (a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2)\) и сложим. Получим:
\(\displaystyle \frac{5}{a^{\frac{1}{5}}+2} + \frac{4}{(a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2)} - \frac{1}{a^{\frac{1}{5}}-2}= \frac{5(a^{\frac{1}{5}}-2)+4-(a^{\frac{1}{5}}+2)}{(a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2)}\)
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные:
\(\displaystyle \frac{5(a^{\frac{1}{5}}-2)+4-(a^{\frac{1}{5}}+2)}{(a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2)}=\frac{5a^{\frac{1}{5}}-10+4-a^{\frac{1}{5}}-2}{(a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2)}=\frac{4a^{\frac{1}{5}}-8}{(a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2)}{\small .}\)
Заметим, что в числителе можно вынести общий множитель \(\displaystyle 4\) и сократить дробь:
\(\displaystyle \frac{4a^{\frac{1}{5}}-8}{(a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2)}=\frac{4\color{blue}{(a^{\frac{1}{5}}-2)}}{(a^{\frac{1}{5}}+2)\color{blue}{(a^{\frac{1}{5}}-2)}}=\frac{4}{a^{\frac{1}{5}}+2}{\small .}\)
2. Разделим \(\displaystyle \frac{4a^{\frac{2}{5}}-16}{a^{\frac{2}{5}}+4a^{\frac{1}{5}}+4 }\) на полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{4a^{\frac{2}{5}}-16}{a^{\frac{2}{5}}+4a^{\frac{1}{5}}+4 } :\frac{4}{a^{\frac{1}{5}}+2} =\frac{4a^{\frac{2}{5}}-16}{a^{\frac{2}{5}}+4a^{\frac{1}{5}}+4 } \cdot \frac{a^{\frac{1}{5}}+2}{4} =\frac{(4a^{\frac{2}{5}}-16)(a^{\frac{1}{5}}+2)}{(a^{\frac{2}{5}}+4a^{\frac{1}{5}}+4)\cdot 4 } {\small .}\)
Так как
\(\displaystyle 4a^{\frac{2}{5}}-16=4(a^{\frac{2}{5}}-4)=4(a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2){\small ,}\)
\(\displaystyle a^{\frac{2}{5}}+4a^{\frac{1}{5}}+4=(a^{\frac{1}{5}})^2+2\cdot2 \cdot a^{\frac{1}{5}} + 2^2 = (a^{\frac{1}{5}}+2)^2{\small ,}\)
можем сократить дробь:
\(\displaystyle \frac{(4a^{\frac{2}{5}}-16)(a^{\frac{1}{5}}+2)}{(a^{\frac{2}{5}}+4a^{\frac{1}{5}}+4)\cdot 4 }=\frac{4(a^{\frac{1}{5}}+2)(a^{\frac{1}{5}}-2)(a^{\frac{1}{5}}+2)}{(a^{\frac{1}{5}}+2)^2\cdot 4 }=\)
\(\displaystyle =\frac{\color{green}{4}\color{blue}{(a^{\frac{1}{5}}+2)}(a^{\frac{1}{5}}-2)\color{blue}{(a^{\frac{1}{5}}+2)}}{\color{blue}{(a^{\frac{1}{5}}+2)^2}\cdot \color{green}{4} }=a^{\frac{1}{5}}-2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\frac{1}{5}}-2{\small .}\)