На стороне \(\displaystyle BC\) прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC\) отмечена точка \(\displaystyle E{\small .}\) Из неё проведён перпендикуляр к стороне \(\displaystyle AB{\small .}\)
Катет \(\displaystyle DE\) образовавшегося треугольника \(\displaystyle BDE\) равен катету \(\displaystyle CE\) треугольника \(\displaystyle ACE\) с углом величиной \(\displaystyle 33\degree\) при вершине \(\displaystyle A{\small .}\)
Найти величину угла при вершине \(\displaystyle B\) треугольника \(\displaystyle BDE{\small .}\)
\(\displaystyle \angle DBE=\)\(\displaystyle \degree \)
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого, то треугольники равны.
Для изображённых треугольников с отмеченными равными элементами:
\(\displaystyle \begin{cases} \angle ACB=\angle KML=90\degree \\ AB=KL \\ BC=LM \end{cases} ~{\LARGE\Rightarrow~~~}{\bf\triangle}ABC={\bf\triangle}KLM~~{\footnotesize\it (по~катету~и~гипотенузе)}\)
Треугольник \(\displaystyle ADE\) является прямоугольным, так как по условию отрезки \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle DE\) перпендикулярны.
У прямоугольных треугольников \(\displaystyle ACE\) и \(\displaystyle ADE\) общая гипотенуза, а катеты \(\displaystyle CE\) и \(\displaystyle DE\) равны по условию.
Значит, треугольники \(\displaystyle ACE\) и \(\displaystyle ADE\) равны.
В равных треугольниках равны углы, противолежащие равным сторонам.
Значит, углы \(\displaystyle CAE\) и \(\displaystyle DAE\) равны, так как противолежат равным катетам \(\displaystyle CE\) и \(\displaystyle DE{\small .}\)
Чтобы найти величину составленного из них угла \(\displaystyle CAD{ \small ,}\) достаточно удвоить величину угла \(\displaystyle CAE{\text :}\)
\(\displaystyle \angle CAD=\angle CAE+\angle DAE=2\angle CAE=2\cdot 33\degree =66\degree {\small .}\)
Искомый угол является острым углом не только в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle BDE{ \small ,}\) но и в треугольнике \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника составляет \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Найдём величину угла \(\displaystyle ABC{ \small ,}\) пользуясь тем, что величина второго острого угла прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC\) известна:
\(\displaystyle \angle ABC=90\degree -\angle BAC=90\degree -66\degree =24\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle DBE=24\degree \)