Известны стороны треугольника \(\displaystyle ABC\) с прямым углом при вершине \(\displaystyle C{\text :}\)
\(\displaystyle AB=89{\small ,\;}~~BC=80{\small ,\;}~~AC=39{\small .}\)
На стороне \(\displaystyle AB\) отложен отрезок \(\displaystyle BD\) длиной \(\displaystyle 50{\small .}\) Через его конец перпендикулярно этой стороне проведена прямая.
Она пересекает сторону \(\displaystyle BC\) в точке \(\displaystyle E{\small .}\)
Найдите периметр треугольника \(\displaystyle BDE{\small .}\)
\(\displaystyle P_{BDE}=\)
Длина отрезка \(\displaystyle AD\) вычисляется как разность длин отрезка \(\displaystyle AB\) и его известной части \(\displaystyle BD{\text :}\)
\(\displaystyle AD=AB-BD=89-50=39{\small .}\)
Замечаем, что длины отрезков \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AD\) равны:
\(\displaystyle AC=AD=39{\small .}\)
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого, то треугольники равны.
Для изображённых треугольников с отмеченными равными элементами:
\(\displaystyle \begin{cases} \angle ACB=\angle KML=90\degree \\ AB=KL \\ BC=LM \end{cases} ~{\LARGE\Rightarrow~~~}{\bf\triangle}ABC={\bf\triangle}KLM~~{\footnotesize\it (по~катету~и~гипотенузе)}\)
Равенство отрезков \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AD\) означает, что, добавив на рисунок отрезок \(\displaystyle AE,\) получим два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой.
Угол \(\displaystyle ADE\) прямой, так как отрезок \(\displaystyle DE\) по условию является частью прямой, перпендикулярной отрезку \(\displaystyle AB{\small .}\)
У прямоугольных треугольников \(\displaystyle ACE\) и \(\displaystyle ADE\) общая гипотенуза \(\displaystyle AE\) и, как ранее установлено, равные катеты \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AD{\small .}\)
Значит, треугольники равны по катету и гипотенузе, а значит, равны и другие их катеты:
\(\displaystyle CE=DE{\small .}\)
Периметр треугольника \(\displaystyle -\) сумма длин трёх его сторон.
Выпишем эту сумму для треугольника \(\displaystyle BDE:\)
\(\displaystyle P_{BDE}=BD+BE+DE{\small .}\)
Заменим в выражении для периметра длину отрезка \(\displaystyle DE\) на длину равного ему по предыдущему пункту отрезка \(\displaystyle CE{\text :}\)
\(\displaystyle P_{BDE}=BD+BE+CE{\small .}\)
Сумма длин отрезков \(\displaystyle BE\) и \(\displaystyle CE\) равна длине составленного из них отрезка \(\displaystyle BC,\) длина которого известна. Получаем искомый периметр:
\(\displaystyle P_{BDE}=BD+BC=50+80=130{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle P_{BDE}=130{\small .}\)