Skip to main content

Теория: 04 Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Задание

У двух треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle KLM\) есть две пары равных сторон. Также равны высоты, проведённые в каждом из треугольников к третьей стороне:

\(\displaystyle AC=KM{\small ,\;}BC=LM{\small ,\;}CD=MN{\small .}\)

Дополните доказательство равенства треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle KLM{\small .}\)

\(\displaystyle 1{\small .}\)\(\displaystyle \begin{cases}\\ \\ \\ \end{cases}\) Перетащите сюда правильный ответ \(\displaystyle \LARGE\Rightarrow\)\(\displaystyle {\bf\triangle}ACD=\)
 \(\displaystyle CD=MN\)

 

 

 

 

\(\displaystyle 2{\small .}\)\(\displaystyle \begin{cases}\\ \\ \\ \end{cases}\)\(\displaystyle BC=LM\)\(\displaystyle \LARGE\Rightarrow\)\(\displaystyle {\bf\triangle}BCD=\)
  Перетащите сюда правильный ответ

 

 

 

 

\(\displaystyle 3{\small .}\)\(\displaystyle \begin{cases}\\ \\ \\ \\ \end{cases}\) Перетащите сюда правильный ответ \(\displaystyle \LARGE\Rightarrow\)\(\displaystyle AB=KL\)
  Перетащите сюда правильный ответ

 

 

 

 

\(\displaystyle 4{\small .}\)\(\displaystyle \begin{cases}\\ \\ \\ \\ \\ \end{cases}\)\(\displaystyle AC=KM\)\(\displaystyle \LARGE\Rightarrow\) 
  Перетащите сюда правильный ответ \(\displaystyle {\bf\triangle}ABC=\)
  Перетащите сюда правильный ответ

 

 

 

 

Решение

Восстановим доказательство по пунктам, заполняя пропуски.

1. Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ACD\) и \(\displaystyle KMN\) равны по катету и гипотенузе.

В прямоугольных треугольниках \(\displaystyle ACD\) и \(\displaystyle KMN\) равны катеты \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle MN\) и гипотенузы \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle KM{\small .}\)

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого, то треугольники равны.

Значит, треугольник \(\displaystyle KMN\) равен треугольнику \(\displaystyle ACD\) по катету и гипотенузе.

Заполняем пропуски первого пункта.

2. Прямоугольные треугольники \(\displaystyle BCD\) и \(\displaystyle LMN\) равны по катету и гипотенузе.

В прямоугольных треугольниках \(\displaystyle BCD\) и \(\displaystyle LMN\) равны катеты \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle MN\) и гипотенузы \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle LM{\small .}\)

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого, то треугольники равны.

Значит, треугольник \(\displaystyle LMN\) равен треугольнику \(\displaystyle BCD\) по катету и гипотенузе.

Заполняем пропуски второго пункта.

3. Отрезки \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle KL\) равны, так как составлены из двух пар равных отрезков.

Отрезок \(\displaystyle AB\) складывается из частей \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BD{\small ,}\) а отрезок \(\displaystyle KL~-\) из частей \(\displaystyle KN\) и \(\displaystyle LN{\small .}\)

Части отрезков образуют две пары равных сторон:

  • отрезки \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle KN\) равны, так как являются равными сторонами равных треугольников \(\displaystyle ACD\) и \(\displaystyle KMN{\text ;}\)
  • отрезки \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle LN\) равны, так как являются равными сторонами равных треугольников \(\displaystyle BCD\) и \(\displaystyle LMN{\small .}\)

Значит, равны и составленные из равных частей отрезки \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle KL{\small .}\)

Заполняем пропуски третьего пункта.

4. Треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle KLM\) равны по третьему признаку.

В треугольниках \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle KLM\) найдены три пары равных сторон.

Равенства \(\displaystyle AC=KM\) и \(\displaystyle BC=LM\) даны в условии, а равенство \(\displaystyle AB=KL\) установлено в предыдущем пункте.

Значит, треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle KLM\) равны по трём сторонам.

Заполняем оставшиеся пропуски.

Ответ: