У четырёхугольника \(\displaystyle ABCD\) углы при вершинах \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) прямые, а стороны \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle CD\) равны.
Из части предложенных фрагментов соберите два альтернативных доказательства равенства его сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AD{\small .}\)
| ПЕРВЫЙ СПОСОБ (через равные треугольники) | |
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | |
| Значит, \(\displaystyle AB=AD{\small .}\) | |
| ВТОРОЙ СПОСОБ (через равнобедренные треугольники) | |
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 4{\small .}\) | |
| Значит, \(\displaystyle AB=AD{\small .}\) | |
Последовательно восстановим оба способа доказательства.
\(\displaystyle ~~~~1{\small .}\) Для получения равных треугольников следует дополнить рисунок отрезком \(\displaystyle AC\)
\(\displaystyle ~~~~2{\small .}\) Треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ADC\) по условию прямоугольные. Их равенство объясняется общей гипотенузой и равными катетами \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle CD{\small .}\)
Если в двух прямоугольных треугольниках есть пара равных катетов и равны гипотенузы, то треугольники равны.
Таким образом, \(\displaystyle {\bf\triangle}ABC={\bf\triangle}ADC{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~3{\small .}\) Равенство отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AD\) обосновывается тем, что они являются сторонами равных треугольников.
В равных треугольниках \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ADC\) должны найтись три пары равных сторон. Две из них применялись при доказательстве равенства треугольников. Значит, оставшиеся стороны тоже образуют пару равных:
\(\displaystyle AB=AD{\small .}\)
Для трёх перечисленных пунктов доказательства можно подобрать подходящие фрагменты и расставить в том же порядке.
\(\displaystyle ~~~~1{\small .}\) Для получения равнобедренного треугольника \(\displaystyle BCD\) следует провести отрезок \(\displaystyle BD{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~2{\small .}\) Углы \(\displaystyle CBD\) и \(\displaystyle CDB\) равны по свойству равнобедренного треугольника.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит, равенство углов \(\displaystyle CBD\) и \(\displaystyle CDB\) обеспечено равенством сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle CD\) треугольника \(\displaystyle BCD{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~3{\small .}\) Равенство углов \(\displaystyle ABD\) и \(\displaystyle ADB\) получается из-за того, что они являются частями прямых углов, вторые части которых равны.
Выразим, например, величины этих углов:
- \(\displaystyle \angle ABD=\angle ABC-\angle CBD=90\degree -\angle CBD{\text ;}\)
- \(\displaystyle \angle ADB=\angle ADC-\angle CDB=90\degree -\angle CDB{\small .}\)
Величины углов равны из-за равенства \(\displaystyle \angle CBD=\angle CDB{\small .}\) Значит, равны и сами углы.
\(\displaystyle ~~~~4{\small .}\) Требуемое равенство отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AD\) получается как равенство боковых сторон равнобедренного треугольника \(\displaystyle ABD{\small .}\)
Если два угла треугольника равны, то им противолежат равные стороны.
Из равенства \(\displaystyle \angle ABD=\angle ADB\) следует, что треугольник \(\displaystyle ABD\) равнобедренный и \(\displaystyle AB=AD{\small .}\)
Для четырёх перечисленных пунктов доказательства можно подобрать подходящие фрагменты и расставить в том же порядке.
| Ответ: |  |