Найдите значение выражения
\(\displaystyle \left(27a^{\frac{3}{4}}\cdot b^{-\frac{6}{5}}\cdot c^{-3}\right)^{\frac{2}{3}}\)
при \(\displaystyle a=25\small,\) \(\displaystyle b=\frac{1}{32}\small,\) \(\displaystyle c=3\small.\)
Сначала упростим выражение.
По свойству степени произведения
\(\displaystyle \left(27a^{\frac{3}{4}}\cdot b^{-\frac{6}{5}}\cdot c^{-3}\right)^{\frac{2}{3}}=27^{\frac{2}{3}}\cdot \left(a^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}\cdot \left(b^{-\frac{6}{5}}\right)^{\frac{2}{3}}\cdot \left(c^{-3}\right)^{\frac{2}{3}}\small.\)
По свойству возведения степени в степень, с учетом \(\displaystyle 27=3^3\small,\) получим
\(\displaystyle 27^{\frac{2}{3}}\cdot \left(a^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}\cdot \left(b^{-\frac{6}{5}}\right)^{\frac{2}{3}}\cdot \left(c^{-3}\right)^{\frac{2}{3}}=(3^3)^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}}\cdot b^{-\frac{6}{5}\cdot \frac{2}{3}}\cdot c^{-3\cdot \frac{2}{3}}=\)
=\(\displaystyle 3^{3\cdot \frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot b^{-\frac{4}{5}}\cdot c^{-2}=3^{2}\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot b^{-\frac{4}{5}}\cdot c^{-2}=9\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot b^{-\frac{4}{5}}\cdot c^{-2}\small.\)
При \(\displaystyle a=25\small,\) \(\displaystyle b=\frac{1}{32}\small,\) \(\displaystyle c=3\small\) получим
\(\displaystyle 9\cdot 25^{\frac{1}{2}}\cdot \left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{4}{5}}\cdot 3^{-2}=9\cdot \sqrt{25}\cdot \sqrt[5]{\left(\frac{1}{32}\right)^{-4}}\cdot \frac{1}{9}=\)
\(\displaystyle =1\cdot 5\cdot \left(\sqrt[5]{\frac{1}{32}}\right)^{-4}=5\cdot \left( \frac{1}{2}\right)^{-4}=5\cdot 16=80\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 80\small.\)