Представьте выражение \(\displaystyle \sqrt[3\,]{b}+6\sqrt[6\,]{b}+9\) в виде квадрата суммы арифметического корня и числа.
Так как в выражении встречается \(\displaystyle \sqrt[6\,]{b} {\small,}\) то \(\displaystyle b \geqslant 0{\small,}\) и мы можем использовать свойства арифметического корня.
Заметим, что
\(\displaystyle \left( \sqrt[6\,]{b}\right)^{2}=\sqrt[6\,]{b^{\,2}}=\sqrt[\red2 \cdot \color{#9933ff}{3}\, ] {b^{\,\red2\cdot \color{#009933}{1}}}=\sqrt[\color{#9933ff}{3}\, ]{b^{\, \color{#009933}{1}}}=\sqrt [3\,]{b}{\small.}\)
Перепишем исходное выражение:
\(\displaystyle \sqrt[3\,]{b}+6\sqrt[6\,]{b}+9=\left( \sqrt[6\,]{b}\right)^{2}+2\cdot \sqrt[6\,]{b} \cdot 3+3^2\)
\(\displaystyle \left (\sqrt[6\, ] {b} \right)^2+2\cdot \sqrt[6\, ] {b} \cdot 3+3^2=\left( \sqrt[6\, ] {b}+3 \right)^2 {\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \color{purple}{\sqrt[3\,]{b}+6\sqrt[6\,]{b}+9=\left(\sqrt[6\,]{b}+3 \right)^{2}} {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \left(\sqrt[6\,]{b}+3 \right)^{2}{\small.}\)