Skip to main content

Теория: 13 Применение свойств корня \(\displaystyle n\)-й степени для упрощения выражений (выделение полного квадрата иррационального выражения)

Задание

Упростите выражение:

\(\displaystyle \frac{\sqrt[3\,]{b^{\,2}}+2\sqrt[3\,]{b}+1}{\sqrt[3\,]{b}+1}=\)
\sqrt[3 ] {b}+1
 
Решение

Разложим на множители числитель дроби.

Получим:

\(\displaystyle \frac{ \sqrt[3\, ] {b^2} +2 \sqrt[3\, ] {b}+1}{\sqrt[3\, ] {b}+1 }=\frac{\left( \sqrt[3\, ] {b}+1 \right)^2}{\sqrt[3\, ] {b}+1 } {\small.}\)

Сократим полученную дробь на общий множитель \(\displaystyle \left( \sqrt[3\,]{b}+1 \right){\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\left(\sqrt[3\,]{b}+1 \right)^{2}}{\sqrt[3\,]{b}+1}=\frac{\cancel{\left(\sqrt[3\,]{b}+1 \right)}\left(\sqrt[3\,]{b}+1 \right)}{\cancel{\sqrt[3\,]{b}+1}}=\sqrt[3\,]{b}+1{\small .}\)

Таким образом, имеем следующую цепочку равенств:

\(\displaystyle \color{purple}{\frac{\sqrt [3\,]{b^{\,2}}+2\sqrt[3\,]{b}+1}{\sqrt[3\,]{b}+1}=\frac{\left(\sqrt[3\,]{b}+1 \right)^{2}}{\sqrt[3\,]{b}+1}=\sqrt[3\,]{b}+1 } {\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \sqrt[3\,]{b}+1 {\small.}\)